Transformada de fourier

Transformada de Fourier en el Tratamiento Digital de Imágenes
Julio Cajamarca
Análisis de redes Cuenca, 08 de Julio 2008

Resumen.- El procesamiento de imágenes tiene como objetivo mejorar el aspecto de las imágenes y hacer más evidentes en ellas ciertos detalles que se desean hacer notar. La imagen puede haber sido generada de muchas maneras, por ejemplo, fotográficamente, oelectrónicamente, por medio de monitores de televisión. El procesamiento de las imágenes se puede en general hacer por medio de métodos ópticos, o bien por medio de métodos digitales, en una computadora.

otra imagen, que en este caso es compleja, pudiéndose separar en parte real e imaginaria o bien en módulo y fase. Si se hace la transformada de Fourier a una imagen y se compara el resultado con la señaloriginal, se puede ver que un cambio brusco en la imagen (p.e. bordes de objetos) se traducen en altas componentes frecuenciales y viceversa, es decir, objetos uniformes dan como resultado frecuencias bajas. Al igual que en una señal unidimensional, en una imagen cada punto transformado depende directamente de todos los puntos de la señal original, es decir, de todos los píxeles de la imagen origen.Esta dependencia se deduce de la expresión de la transformada de Fourier que más adelante se verá en detalle. Además cabe destacar que la máxima frecuencia representable de una imagen es aquella cuya longitud de onda coincide con el tamaño de un píxel, ya que variaciones menores al tamaño del píxel no son capturables. II. PROCESAMIENTO ÓPTICO Y DIGITAL Consideremos el arreglo óptico de la figura 1.En el plano focal frontal de la lente L1 se ha colocado la transparencia T, la cual está siendo iluminada por un haz de rayos paralelos provenientes de un láser de gas. Sobre el plano focal F1 de la lente L1 se forma una distribución luminosa que representa la transformada de Fourier de la transparencia. Si ahora se coloca otra lente L2 como se muestra en la misma figura, se puede formar una imagende la transparencia en el plano focal F2 de esta lente. Si ahora se coloca cualquier objeto o diafragma sobre el plano F1, se pueden eliminar las porciones que se deseen de la transformada de Fourier de la transparencia, eliminando así de la imagen las frecuencias de Fourier deseadas. Cada porción de la transformada de Fourier corresponde a una frecuencia espacial diferente sobre el objeto. Porlo tanto, mediante los diafragmas adecuados se pueden eliminar las frecuencias espaciales, llamadas también de Fourier, que se deseen quitar.

I.

INTRODUCCIÓN

La transformada de Fourier es una de las herramientas más potentes y usadas en problemas de procesamiento de imágenes. Debido a la naturaleza discreta de las imágenes, se centrará en el estudio de la trasformada discreta de Fourier omás comúnmente conocida como DFT. La facilidad que aporta la transformada de Fourier es poder representar funciones complicadas de una forma sencilla, pudiendo extraer de esta forma de representación, información que de otra forma sería difícil de observar, así como poder realizar procesados de señal que en el domino espacial serian muy complejos. Al igual que las señales unidimensionales, lasimágenes también pueden representarse a través de su transformada de Fourier, sin más que hacer una extensión de la trasformada unidimensional al caso bidimensional, ya que una imagen puede considerarse como una función de dos variables. Las variables que componen la imagen son las coordenadas espaciales de los píxeles que la forman, es decir, las coordenadas X e Y así como el valor de la luminanciaen cada uno de los píxeles. Por tanto una imagen puede ser representada de forma analítica como: z = luminancia x = coordenada horizontal y = coordenada vertical A través de la aplicación de transformación de Fourier a la imagen, se obtiene la representación de ésta en el dominio frecuencial. Cuando se usa el concepto de dominio frecuencial en el procesado de imágenes, se hace referencia a la...