Transformada De Fourier

Introducción.
Representación en todo el tiempo de señales aperiódicas -transformada de Fourier-
Como hemos aprendido en clase a representar cualquier señal determinística mediante su serie de Fourier en el intervalo de tiempo. Hemos aprendido también que esta representación es valida en todo el tiempo, desde menos hasta más infinito, si la señal es periódica. Extenderemos ahora estarepresentación para el caso de las señales aperiodicas. Supóngase que ahora ft es una señal aperiódica, es decir un solo pulso que no se vuelve a repetir (figura 2.1a) y deseamos representar a f(t) mediante la serie exponencial de Fourier de tal manera que la representación sea valida en todo desde menos hasta mas infinito. Para esto, hagamos el siguiente razonamiento. Con base en el pulso ft de la figura2. La construyamos la señal periódica fT0t de la igura 2.1b. sabemos que la serie exponencial de Fourier que representa a fT0t es valida en todo el eje del tiempo desde -∞ hasta+∞ y que esta validez es independiente del valor de T0. Asi, al incrementar el valor del periodo T0 los pulsos de fT0t se separan cada vez mas y en el limite, cuando T0→∞ la señal periódica es también la señal aperiódicaft; es decir:
ft=limT0→∞ fT0t
Esto es, que en el límite las dos señales son iguales y por lo tanto tiene la misma serie de Fourier valida en todo el eje real del tiempo. En esta forma, mediante el proceso de límite haciendo que T0→∞ es posible pasar de la señal periódica a la aperiódica. Resta ahora estudiar como se modifica la expresión matemáticamente del espectro, es decir que forma adoptanlos coeficientes Fn y como se transforma la serie exponencial de Fourier con este proceso de limite. Para esto recordemos la serie exponencial de fT0t.
fT0t=n=-∞∞Fnejnω0t
En donde:
Fn=1T0t0t0+T0fT0te-jnω0tdt
Es importante recoradar que ω0=2πT0 es el espaciamiento de las componentes de frecuencia en el espectro de fT0t. Las ecuaciones anteriores también se pueden escribir como:fT0t=1T0n=-∞∞Fnejnω0t…………………….2
Con
Fn=-T0/2T0/2fT0te-jnω0tdt………………………3
Y como T0=2π/ω0 de ecu. (2).
fT0t=12πn=-∞∞Fnejnω0tω0…………………….4
Cuando T0→∞, ω0→∞ por lo que se le puede representar como ∆ω. Es decir, a medida que T0 aumenta aparecen mas armónicas en el espectro y, en el limite cuando T0→∞, el espectro Fn se convierte en función de nω0 que ahora se transforma en variable continua, es decir, nω0→ω y Fn→Fω.Así,
Fω=limT0→∞ Fn
En resumen, cuando T0→∞
nω0→ω
Fn→Fω
fT0t→ft
Así, de 1 y 4.
ft=12πn=-∞∞Fnejnω0t∆ω0…………………5
El segundo miembro de esta ecuación. Constituye la definición de la famosa integral de Riemann. Por lo tanto,
ft=12π-∞∞Fωejωtdω………………….6
De igual manera, de 3 y 5.
Fω=limT0→∞ -T0/2T0/2fT0te-jnω0tdt………………..7
Fω=-∞∞fte-jωtdt…………………….7
La ecuación 6 constituye la representaciónde ft, la señal aperiódica, en términos de señales exponenciales en todo el intervalo de tiempo -∞, +∞. Como se ve, se trata ahora de una suma continua (integral) de exponenciales de frecuencia ω. La amplitud de la componentes es proporcional a Fω por lo que Fωcontituye el espectro de frecuencias de ft. Fω Se calcula con l ecuación 7 y, como se ve, es ahora función continua de ω; hay un numeroinfinito de armónicas en el espectro de ft. Fω se conoce, matematicamnete, como la transformada directa de Fourier de ft. La ecuación 6 es la transformada inversa de Fourier de Fω, es decir ft es la tranasformada inversa de Fourier de Fω. Las ecs. (6), (7) se conocen como par de transformadas de Fourier; simbólicamente se les representa por
Fω=Fft y ft=F-1Fω
Asi,
Fft=Fω=-∞∞fte-jωtdt………………..8F-1Fω=ft=12π-∞∞Fωejωtdω………………9
La transformada directa ecuación (8), establece que conociendo ft basta con someterla la operación indicada (integral de Fourier) para encontrar su espectro Fω. Es decir, especificada ft en el tiempo se puede calcular su representación en el dominio de la frecuencia. Por el contrario, la ecuación (9) establece que si lo que se especifica es el espectro,...