Transformada de fourier

Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N◦ 7 Trabajo Práctico N◦ 7 Análisis de Fourier Ejercicios. Parte 1 Serie de Fourier

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1. Desarrollar en serie trigonométrica de Fourier las siguientes funciones: (a) f (t) = |t|, −π < t ≤ π f (t + 2π), ∀t

 0 ≤ t ≤ π/ω0  A sin ω0 t, (b) f (t) = 0, π/ω0 < t ≤ 2π/ω0  f (t + 2π/ω0 ), ∀t (c) f (t) = t(π − t), −π T √1 2πσ

∞

e− 2 ( σ )

1

t 2

(e) f (t) = e−t u(t), donde u(t) =
1

1, t > 0 es la Función de Heaviside. 0, t < 0 5

En todo momento, se supone que f admite Transformada de Fourier.

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Funciones Generalizadas - Delta de Dirac Definición 1. Una función φ se llama de tendencia rápida a cero y se la indica φ − → 0, − ∞ (∞, ∞) → R y cumple: si φ : C
|x|→∞ fast

lim xm φ(n) (x) = 0,

∀n, m ∈ N

Las funciones de tendencia rápida, y todas sus derivadas caen a cero más rapidamente que cualquier potencia de x, cuando |x| es muy grande. Es decir, para x →±∞, la gŕafica de φ(x) se confunde con el eje x (ver figura 1). φ(x)

x

Figure 1: Función de tendencia rápida

Definición 2. Llamamos Ω = {φ/φ − → 0} − Hay que notar que Ω, con las leyes comúnes de la suma y producto por escalares, tiene estructura de espacio vectorial, es decir que si φ, ψ ∈ Ω y para todo a ∈ R, (φ + ψ)(x) = φ(x) + ψ(x) (aφ)(x) = aφ(x) Definición 3. Función generalizada: Sea f unafunción, llamamos función generalizada a la funcional lineal Lf : Ω → R, que cumple: Lf {φ} = Lf {φ} es la imagen de φ a través de Lf
∞ −∞

fast

f (x)φ(x) dx

Ejemplo Sea la función común sin : R → [−1, 1], entonces la función seno generalizada Lsin es Lsin : Ω → R, tal que: Lsin {φ} =
∞ −∞

sin(x)φ(x) dx

, donde φ ∈ Ω. Resulta obvio que la imágen de φ, a traves de la funcióngeneralizada Lsin existe. En efecto: |
∞ −∞

sin(x)φ(x) dx| ≤

∞ −∞

| sin(x)||φ(x)| dx ≤

∞ −∞

|φ(x)| dx

la cual converge. Si consideramos ahora que f (x) es una función dierenciable, es posible asociarle la funcional lineal: ∞ f (x)φ(x) dx Lf {φ} = −∞ 6

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Teniendo en cuenta que tanto φ como susderivadas caen a cero más rapidamente que cualquier potencia de x, integrando por partes, resulta: Lf {φ} = f (x)φ(x) = −Lf {φ }
∞ −∞

−

∞ −∞ f (x)φ

(x) dx

De esta manera, es posible extender el concepto de derivabilidad. En efecto, como una función generalizada está dada por la acción sonre las funciones φ en Ω, aún cuando f no sea difernciable en el sentido cĺasico del cálculodiferencial, es posible definir una acción sobre las φ ∈ Ω. Así, es posible definir la derivada de una función generalizada de la siguiente manera: Definición 4. Derivada de una función generalizada. Sea la función generalizada Lf : Ω → R, entonces llamamos derivada primera de la función generalizada Lf a la función generalizada: Lf {φ} = −Lf {φ } Nótese que no es necesario que la función f seadiferenciable, para asociarle una función generalizada que haya que derivar. Si f es derivable, la derivada de la función generalizada coincide con la derivada cásica en el sentido del cálculo diferencial. Ejemplo Calcular la derivada de Lsin . Habiamos visto que la función generalizada seno esá dada por la funcional lineal: Lsin =
∞ −∞

la cual también es una función generalizada ya que φ ∈ Ω.sin(x)φ(x) dx

entonces, de la definición de derivada de función generalizada, resulta: Lsin {φ} = −Lsin {φ } ∞ = − −∞ sin(x)φ (x) dx = Lcos {φ} = − sin(x)φ(x)
∞ ∞

−

∞ −∞ cos(x)φ(x)

dx

Por lo tanto, la derivada de la función generalizada Lsin {φ}, es : Lsin {φ} = Lcos {φ}. Definición 5. Delta de Dirac es la función generalizada que a φ ∈ Ω le hace corresponder φ(a), para a ∈ R, es decir:...

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