transformada de Laplace

GOTA DE LLUVIA QUE SE EVAPORA.

Cuando cae una gota de lluvia, esta se evapora mientras retiene su forma esférica. Si se hacen suposiciones adicionales de que la rapidez a la que se evapora lagota de lluvia es proporcional a su área superficial y que la resistencia del aire es insignificante, entonces un modelo para la velocidad v (t) de la gota de lluvia es:Aquí es la densidad del agua, r0 es el radio de la gota de lluvia en t = 0, k< 0 es la constante proporcionalidad y la dirección hacia abajo se toma como positiva.

(a) Demuestre que el radio de lagota de lluvia en el tiempo t es r (t) = (k/) t + r0.

(b) Determine v (t) si la gota de lluvia cae desde el reposo.

(c) Si r0 = 0.01 pies y r =0.007 pies 10 segundos después que la gota caedesde un nube, determine el tiempo en el que la gota de lluvia se ha evaporado completamente.









(a) Recordando que entonces



Considerando a 4r2 como un solo termino “A”entonces



Como la densidad y la variación del radio con respecto al tiempo son constantes entonces se tiene que:



Donde:

Ó

Resolviendo la integral





Solución generalAhora tomando en cuenta la condición inicial r(0) = r0 para encontrar el valor de la constante de integración se tiene

0


Por lo tanto




Finalmente al sustituir C en la solución generalse obtiene la ecuación del radio con respecto al tiempo.



(b) Determine v (t) si la gota de lluvia cae desde el reposo.



Es necesario resolver dicha ecuación diferencial que tiene comofactor integrante:





Donde B = (k/

Al multiplicar ambos lados de la ecuación por el factor integrante queda



Integrando en ambos lados



Finalmente realizando el respectivocambio de variable que requiere el dado derecho de la ecuación queda


Despejando a “v” se encontrará la solución general de la ecuación diferencial



Al despejar C y aplicando la condición...