Transformada z

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1 La transformada z directa. La transformada z juega el mismo papel en el análisis de señales de tiempo discreto y sistemas LTI que la transformada de Laplace en el análisis de tiempo continuo ysistemas LTI. 1.1 Definición. La transformada z de una señal de tiempo discreto x[n] se define como:

nznxzX donde z es una variable compleja. La transformada z de una señal x[n] se denota porMientras que la relación entre x[n] y X(z) se indica mediante

Desde un punto de vista matemático, la transformada z es simplemente una representación alternativa de la señal. De este modo el coeficientede z−n, para una transformada determinada, es el valor de la señal en el instante n. Y por tanto, el exponente de z contiene la información necesaria para identificar las muestras de la señal. 2Ejemplo 1. Determina la transformada z de la secuencia mostrada en la figura 1.

1

Fig. 1 Secuencia x[n].

1.2 Región de convergencia de la transformada z. Como se puede observar, la transformada zse puede expresar como una serie de potencias infinita y existe sólo para aquellos valores de z para los cuales converge la serie. De esta forma, se define la región de convergencia (ROC) de X(z)como el conjunto de todos los valores de z para los cuales X(z) adquiere valores finitos. Siempre que se calcule la transformada z de una secuencia, se debe también indicar su correspondiente ROC. En elejemplo 1, X(z) toma valores finitos para todo z excepto para el punto z=0, y por tanto la ROC se define como C−{0} (ver figura 2).

Fig. 2 Región de convergencia de la secuencia x[n], del ejemplo1. 2

3 Si se expresa ahora la variable compleja z en su forma polar lo que se tiene es:

donde r =| z | y ð ð q . De este modo X(z) se puede expresar ahora como:

· En la ROC de X(z) se debecumplir que |X(z)| ð ð , pero

Por tanto |X(z)| es finito sólo si la secuencia x[n]· r −n es absolutamente sumable. De esta forma, el problema de encontrar la ROC de X(z) es equivalente a determinar...
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