Transgenicos

5

Geometría analítica

1. Operaciones con vectores
■ Piensa y calcula
→

Dado el vector v (3, 4) del dibujo siguiente, calcula mentalmente su longitud y la pendiente.

Y
D

A

v (3, 4)
C

X
O

Solución:
Longitud = 5

Pendiente = 4/3

● Aplica la teoría
1. Dibuja los vectores de posición de los siguientes puntos:

guientes casos:

Y

→

→

a) u (1, 3) y v (5,2)

B

C

→

→

D

b) u (1, 3) y v (4, 1)

A X

E

Solución:
→
→
a) u + v = (6, 5)
→
→
u – v = (– 4, 1)

H

G

Y

Solución:

u +v

Y
D

u–v

B

C

→

2. Calcula el módulo y el argumento del vector v en los si→

c) v (– 4, – 2)

Solución:
→
a) | v | = 5, α = 53° 7’ 48”
—
→
b) | v | = 2√ 2, α = 135°
—
→
c) | v | = 2√ 5, α = 206° 33’ 54”
—→
d) | v | = √ 29, α = 291° 48’ 5”

168

X

H

G

→

guientes casos:
→
→
a) v (3, 4) b) v (– 2, 2)

v

A X

E
F

u

→

b) u + v = (5, 4)
→
→
u – v = (– 3, 2)
Y

→

d) v (2, – 5)
u–v

u

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

F

3. Calcula → + → y → – → analítica y gráficamente en los siu v u v

u+v
v X

SOLUCIONARIO

4. Calcula y representa en cada casolos vectores siguientes:

→

b) – 2v = (6, – 2)

→

Y

a) Multiplica por 3 el vector v (1, 2)
→

b) Multiplica por – 2 el vector v (– 3, 1)
v

X

Solución:
→
a) 3v = (3, 6)

–2 v
Y
3v
→

v

5. Calcula las coordenadas de los vectores AB en los si-

X

guientes casos:
a) A(– 2, 1), B(3, – 2)

b) A(4, 1), B(– 3, 5)

Solución:
→
a) AB (5, – 3)

→

b) AB (–7, 4)

2. Producto escalar de vectores
■ Piensa y calcula
→

→

Calcula de forma razonada y mentalmente el ángulo que forman los vectores u y v del dibujo.
v(– 5, 5)

Y
α

u(3, 3)
X

Solución:
→
→
Como el vector u está en la bisectriz del primer cuadrante y el v en la del segundo, forman un ángulo de 90°

● Aplica la teoría
6. Halla el producto escalar de los vectoressiguientes:
→

Solución:

→

a) u (3, 4) y v (– 2, 5)
→

Y

v (2, 5)

→

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

b) u (– 2, 0) y v (– 3, – 1)
α

Solución:
→ →
a) u · v = 14
→ →
b) u · v = 6

u (6, –1)

7. Calcula el ángulo que forman los vectores siguientes:
→

→

a) u (6, – 1) y v (2, 5)
→

X

→

b) u (– 2, – 5) y v (3, – 4)
TEMA 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA

6·2–1·5
a) cosα = ——— = 0,2137 ⇒
— —
√62 + (–1)2 √ 22 + 52
α = 77° 39’ 39”

169

8. Halla el valor de x para que los vectores → (2,6) y →(x,– 3)
u
v
sean perpendiculares.

Y

X
α

Solución:
→ →
u · v = 0 ⇒ 2x – 18 = 0 ⇒ x = 9

9. Halla el valor de x de forma que el producto escalar de

u (– 2, – 5)

→

v (3, – 4)

– 2 · 3 – 5 · (– 4)
b) cos α = ——— = 0,5199 ⇒
—— ——
√ (– 2)2 +(– 5)2 √ 32 + (– 4)2

→

los vectores u (2, 3) y v (x, – 2) sea igual a 4
Solución:
→ →
u · v = 4 ⇒ 2x – 6 = 4 ⇒ x = 5

10. Escribe las coordenadas de dos vectores perpendicu→

lares a v(5, – 3)

α = 58° 40' 17''

Solución:
→
→
n1(3, 5); n2(– 3, – 5)

3. Determinación de una recta
■ Piensa y calcula
→

Dibuja la recta que pasa por los puntos A(– 2, 0) y B(1, 5) y calculamentalmente las coordenadas del vector AB y las coor→
denadas de un vector perpendicular a AB
Solución:

Y
B(1, 5)
AB(3, 5)
A(– 2, 0)

→

X

AB(3, 5)
n(5, – 3)

→

n(5, –3)

● Aplica la teoría
11. Determina el vector director de las rectas r y s

12. Dibuja, en cada caso, la recta que pasa por el punto A y
→

tiene como vector director v :
→
→
b) A(2, – 4), v (– 3, 2)
a)A(2, 1), v (1, 1)
→
→
d) A(– 3, 0), v (4, – 3)
c) A(– 2, – 4), v (3, 1)

r
X
s

Solución:
a)

Y

v (1, 1)

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

Y

A(2, 1) X

Solución:
→
Vector director de la recta r: v (5, 4)
→
Vector director de la recta s: v (3, – 2)

170

SOLUCIONARIO

c)

Y

b)

Y
v (– 3, 2)
X

B(3, 1)

→

X
A(–1, –2)

A(2, –4)

v (4, 3)
m...