trigonometria
tioq
uia
Funciones trigonom´tricas de ´ngulos
e
a
Instituto de Matem´ticas*
a
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Unviersidad de Anquioquia
Medell´ 25 de julio de 2011
ın,
1.
Introducci´n
o
2.
rsid
ad
de
La trigonometr´a es el campo de las matem´ticas que tiene como obı
a
jeto de estudio a los tri´ngulos y la relaci´n entre sus lados y los ´ngulos
ao
a
que estos forman, as´ como las funciones que surgen de dichas relaciones
ı
(funciones trigonom´tricas). Su origen etimol´gico deriva de los vocablos
e
o
griegos τ ριγωνo (trig¯non) que significa tri´ngulo y µετ ρoν (metron) que
o
a
significa medida.
La historia de la trigonometr´ y en particular de las funciones triıa
Figura 1
gonom´tricas puede abarcar un per´
e
ıodo de alrededorde 4000 a˜ os. Esta
n
disciplina, como la vemos actualmente, no fue el resultado de s´lo un grupo de indivuiduos o una
o
cultura, sino que fue un proceso en el que participaron grandes civilizaciones. Culturas como la egipcia
y babilonia tuvieron conocimiento previo sobre teoremas que involucraban proporciones que relacionaban las magnitudes de tri´ngulos rect´ngulos, pero carec´ delconcepto de medida de un ´ngulo. La
a
a
ıan
a
u
tablilla babilonia Plimpton (figura 1) contiene una columna de n´meros que se cree, constituye una de
los primeros registros sobre funciones trigonom´tricas.
e
Los astr´nomos babilonios mantuvieron un registro de mediciones realizadas sobre el movimientos
o
de planetas y estrellas y de eclipses, labores que requer´ familiaridad con la medici´n dedistanıan
o
cias angulares. Aunque los trabajos de Euclides y Arqu´
ımides no incluyen trigonometr´ en el sentido
ıa
estricto de la palabra, contienen problemas geom´tricos que son enunciados por medio de leyes trie
gonom´tricas. Las primeras tablas trigonom´tricas fueron aparentemente recopiladas por Hiparco de
e
e
Nicea (180 - 125 a.C.), quien es conocido como el padre de latrigonometr´a.
ı
´
Angulos
B
Un
2
ive
´
Definici´n 2.1 (Angulo). Un ´ngulo es la figura geom´trica formada por dos semirectas
o
a
e
que tienen un punto extremo en com´n O.
u
1:
lado inicial del ´ngulo
a
2:
lado terminal del ´ngulo
a
O: v´rtice del ´ngulo
e
a
A
1
O
* Esta
Notaci´n: ∠AOB
o
obra es distribuida bajo una licencia Creative CommonsAtribuci´n - No comercial 2.5 Colombia.
o
1
1
y
2
2
Ejemplo 2.1. .
2
2
O
O
2
O
1
1
Definici´n 2.2 (Posici´n est´ndar de un ´ngulo). .
o
o
a
a
y
An
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Instituto de Matem´ticas, Universidad de Antioquia
a
1
V´rtice O coincide con el origen
e
2
Lado inicial
θ
1
coincide con el eje x
´
Angulo positivo:
1
x
´
Angulonegativo:
Ejemplo 2.2. .
y
y
y
2
α
γ
1
1
1
x
x
de
x
β
2
Medida de ´ngulos
a
ad
2.1.
2
Los ´ngulos se pueden medir en grados y radianes.
a
Ejemplo 2.3. .
y
rsid
Definici´n 2.3 (Grados sexagesimales). Un grado (1◦ ) es la medida de un ´ngulo cuyo lado terminal
o
a
se obtiene al rotar el lado inicial 1/360 de circunferencia ensentido contrario a las manecillas del
reloj. Un grado se divide en sesenta minutos (1◦ = 60 ) y un minuto en sesenta segundos (1 = 60 ).
y
y
180◦
y
Un
x
ive
360◦
y
90◦
x
y
45◦
x
x
y
y
150◦
60◦
240◦
30◦
x
x
x
x
3
An
tioq
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Instituto de Matem´ticas, Universidad de Antioquia
a
De acuerdo a su medida, los ´ngulos sepueden clasificar como
a
Terminolog´
ıa
Definici´n
o
Ejemplo
´
Angulo agudo
0◦ < θ < 90◦
θ = 65◦
´
Angulo obtuso
90◦ < θ < 180◦
θ = 145◦
´
Angulos complementarios α y β
α + β = 90◦
α = 25◦ y β = 65◦
´
Angulos suplementarios α y β
α + β = 180◦
α = 25◦ y β = 65◦
Definici´n 2.4 (Radianes). Un ´ngulo central es un ´ngulo cuyo v´rtice est´ en el...
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