trigonometria

I
E
M

T

C

R

M
G

Funciones Trigonométricas
1
1.1

Funciones trigonométricas
Medida de ángulos

En geometría se define ángulo como la unión de dos rayos con un origen común. Al origen se le llama vértice y
a los rayos, lados del ángulo. Observe la siguiente figura:
A

θ

B

C

El ángulo anterior se denota de alguna de las siguientes formas ∡ABC; ∡θ, ∡B.
Existen dossistemas de unidades para referirnos a la medida de un ángulo: los grados y los radianes.
1.1.1

Medida de un ángulo en grados

Si los rayos son perpendiculares, se dice que forman un ángulo recto, y por conveniencia decimos que mide 90◦ ,
por lo que un ángulo que mida un noventavo del ángulo recto, se dice que mide un grado (1o ) .
Ejemplo 1. Observe los siguientes ángulos.

A

A90º

180º

60º
B

B

C

C

1.1.2

A

B

C

Medida de un ángulo en radianes

Definición (un radián)
Se dice que un ángulo tiene medida de un radián, si al colocar su vértice en el centro de un círculo, la
medida del arco comprendido entre los rayos es igual a la medida del radio de dicho círculo.

r

r
θ

V

r

tenemos que m∡ θ = 1 radi´n
a
1

Consideremos unángulo de medida θ centrado en un círculo de radio r, supongamos que la medida del arco
s
comprendido entre los rayos es s, entonces la medida en radianes del ángulo esta dada por θ = radianes.
r

s

m∡θ =

θ
V

1.1.3

s
radianes.
r

r

Relación entre grados y radianes

Sabemos que un ángulo llano mide 180◦ . Observe la siguiente figura:
s= π · r

180º
r

r

VNotemos que este ángulo divide a la circunferencia en dos. Sabemos además que la medida de una semicircunferencia de radio r es de πr, pues la circunferencia mide 2πr; por lo que tenemos que s = πr y dividiendo entre
s
r a ambos lados tenemos que = π, de aquí el ángulo anterior en radianes es π radianes. Del análisis hecho
r
obtenemos un factor de conversión de grados a radianes y viceversa, de lasiguiente manera:
180◦ = π radianes =⇒ 1◦ =

π
radianes ∧ 1 radi´n =
a
180

180
π

o

Ejemplo 2. Convierta los siguientes ángulos de grados a radianes o de radianes a grados según sea el caso.
4π
π
60◦ , 120◦ ,
radianes, radianes.
3
2
pues

1◦ =

π
60π
π
radianes =⇒ 60◦ =
radianes = radianes
180
180
3

2π
radianes
3

pues

1◦ =

2π
π
120π
radianes =⇒ 120◦=
radianes =
radianes
180
180
3

4π
radianes = 240◦
3

1 radi´n =
a

180
π

o

pues

π
radianes = 90◦
2

1 radi´n =
a

180
π

o

pues

60◦ =

π
radianes
3

120◦ =

1.2

=⇒

4π
radi´n =
a
3

=⇒

π
radi´n =
a
2

π 180
2 π

o

4π 180
3 π

= 240◦
o

= 90◦

Círculo trigonométrico

Consideremos un sistema de ejes coordenados conun círculo de radio uno (círculo unitario) centrado en el
origen. A esta circunferencia se le conoce como el círculo trigonométrico. Éste nos permite definir las razones
2

trigonométricas de cualquier ángulo.
1

1

-1

-1

Para este contexto, la definición de ángulo debe cambiar y diremos que un ángulo consiste en un rayo que
se denomina lado inicial, el cual rota al rededor de suorigen, hasta un rayo que se denomina lado terminal.
Nota: Las cuatro regiones definidas por las intersecciones de los ejes coordenados las llamaremos cuadrantes,
para mayor comodidad los distinguiremos de la siguiente manera:

Segundo
Cuadrante

Tercer
Cuadrante

1.2.1

Primer
Cuadrante

Cuarto
Cuadrante

Ángulo en posición estándar o posición normal

Definición (Ángulo enposición estándar o posición normal)
Se define un ángulo en posición estándar o normal como el ángulo en el que su lado inicial coincide con la
parte positiva del eje x y su vértice con el origen del sistema de ejes coordenados.
Ejemplos 3. Los siguientes son ángulos en posición estándar o normal.

θ

θ

θ

figura 1

figura 2

figura 3

θ

figura 4

Se dice que un ángulo en posición...