variable compleja
0
-10
50
0
-50
0
-50
50
Ejercicios de
Funciones de Variable Compleja y
Geometría Diferencial
Martín Rivas
e-mail:martin.rivas@ehu.es
http://tp.lc.ehu.es/martin.htm
Departamento de Física Teórica
UPV/EHU
Leioa, Febrero 2008
2
Capítulo 1
Operaciones con números complejos
Sea z ∈ C, un número complejo arbitrario que lo escribimos de la forma z = x+iy , con x, y∈ R, de
tal manera que x = Re z e y = Im z , son la parte Real y parte Imaginaria de z , respectivamente.
Con los números complejos podemos hacer las siguientes operaciones:
Suma
Producto
Conjugación
Valor absoluto
Distancia entre complejos
:
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),
:
:
z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
z → z , z = x − iy,
¯ ¯
√
z
¯
|z| = x2 +y 2 = |¯| = z z ≥ 0,
d(z1 , z2 ) = |z1 − z2 | = |z2 − z1 | ≥ 0.
:
:
Además, la suma y el producto son operaciones conmutativas y asociativas
z1 + z2 = z2 + z1 ,
z1 z2 = z2 z1 ,
z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 = z1 + z2 + z3 ,
z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3 = z1 z2 z3 ,
y satisfacen entre ellas las operaciones de distributividad:
z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 .
Laconjugación `respeta' a las dos operaciones suma y producto y al valor absoluto:
(z1 + z2 ) = z1 + z2 ,
¯
¯
(z1 z2 ) = z1 z2 ,
¯ ¯
|z| = |¯| = |z|.
z
Las potencias enteras del complejo i son i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1 y las demás se reducen a éstas.
Solamente existe un complejo z = 0, si y solo si x = y = 0, y los números reales son precisamente
aquellos números complejos que sonidénticos a sus complejos conjugados.
z = z,
¯
⇐⇒
z ∈ R.
El valor absoluto satisface |z1 z2 | = |z1 ||z2 | y las:
desigualdades triangulares |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |,
Fórmula de Euler
|z1 − z2 | ≥ ||z1 | − |z2 || .
ez ≡ ex+iy = ex (cos y + i sin y)
Teorema de De Moivre
Si el complejo z se escribe como z = r(cos θ + i sin θ), z = reiθ , el producto aparece como z1 z2 =
r1 r2ei(θ1 +θ2 ) , y las potencias z n = rn einθ , entonces
z n = rn (cos nθ + i sin nθ).
n
Como resulta que eiθ = einθ , entonces (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ, de donde se pueden
obtener todas las reglas trigonométricas de los ángulos múltiples y ángulos fraccionarios.
3
4
CAPÍTULO 1. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
Problemas
1.1 Vericar las operaciones siguientes,tanto en su forma ordinaria como usando la forma polar de
los números complejos que se indican:
5i
= 1 + 2i, (−1 + i)7 = −8(1 + i).
2+i
√ √
√
√
√
i(1 − i 3)( 3 + i) = 2 + 2i 3, (1 + i 3)−10 = 2−11 (−1 + i 3),
1.2 Describir geométricamente cada una de las regiones del plano complejo
a) −π < arg z < π, |z| > 3;
b) 1 < |z − 2i| < 2;
c) |2z + 3| > 5;
d) Im(z 2 ) > 0 y Im(z 2 ) ≥ 0;
1e) Re z ≤ 1 ;
2
f) |z − 3| > |z|.
1.3 Indicar qué representan geométricamente las siguientes ecuaciones y desigualdades:
{a} |z − 1 − i| = 1,
{b} |z − 1| = |z + i|,
1.4 Si z = 6eiπ/3 , evaluar |eiz |. [Sol. e
{c} |z − 1 + i| ≥ |z − 1 − i|,
√
−3 3
{d} |z + 4i| + |z − 4i| = 10.
]
1.5 Encontrar todas las soluciones de los sistemas de ecuaciones:
a)
|z − 12|
5
= ,
|z− 8i|
3
y
b)
[Sol. z1 = 6 + 17i,
|z + 1 + i|
= 1.
|z − 1 − i|
|z 2 − 2i| = 4,
z2 = 6 + 8i y z1 = 1 − i,
|z − 4|
= 1,
|z − 8|
z2 = −1 + i.]
1.6 Encontrar todas las soluciones de cada una de las 8 ecuaciones:
z 2 = i;
z 7 + 1 = 0;
z 2 = 3 − 4i;
z 8 = 1 + i;
z 3 = −1;
z = z3;
¯
z 6 = 64;
|z| − z = 1 + 2i;
1.7 Encontrar para qué valores de z sesatisface la ecuación
cos(z − i) = 2.
Resolver asímismo la ecuación
3
[Sol.z = 2kπ + i(1 − ln(2 ±
√
(z − 1 + i)(z − 1)2 = z.
3)), k ∈ Z y z1 = (1 − i)/2 y z2 = (3 + i)/5][Parcial Abril 2004]
1.8 Demostrar las fórmulas siguientes:
(1 + cos α + i sin α)2n
1 + i tan α
1 − i tan α
=
n
=
α 2n inα
e ,
2
1 + i tan nα
,
1 − i tan nα
2 cos
Sugerencia: Escribir esas...
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