Variables aleatorias

Generaci´n de valores de las variables aleatorias o
Juan F. Olivares-Pacheco* 14 de junio de 2007

Resumen En todo modelo de simulaci´n estoc´stico, existen una o varias variables aleatorias interactuando. o a Generalmente, estas variables siguen distribuciones de probabilidad te´ricas o emp´ o ıricas diferentes a la distribuci´n uniforme. Por consiguiente, para simular este tipo de variables,es necesario contar o con un generador de n´meros uniformes y una funci´n que a trav´s de un m´todo espec´ u o e e ıfico, transforme estos n´meros en valores de la distribuci´n de probabilidad deseada. u o

1.

La generaci´n de estad´ o ısticas simuladas
La generaci´n de estad´ o ısticas simuladas, o sea de valores de las variables aleatorias, tienen una

naturaleza enteramente num´rica ydeben configurarse mediante la aportaci´n de n´meros aleatorios. e o u Estos n´meros se introducen al proceso o sistema bajo estudio (en donde el sistema se representa por u un modelo probabil´ ıstico) a fin de obtener ciertas cifras (o valores de las variables aleatorias) de las cuales se obtengan las respuestas. Como regla general, el proceso de simulaci´n estoc´stica comprende o a una actividad dereemplazo del universo estad´ ıstico de elementos que se emplean en el sistema por su contraparte te´rica, un universo descrito por una distribuci´n probabil´ o o ıstica supuesta (por ejemplo, una distribuci´n normal), seguido de un muestreo efectuado sobre esta poblaci´n te´rica, con la ayuda o o o de cierto tipo de generador de n´meros aleatorios. u Sin embargo, en algunos casos es posible quesea dif´ encontrar una distribuci´n te´rica convenıcil o o cional que describa un proceso estoc´stico particular o alguno de los componentes de dicho proceso. a
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Departamento de Matem´tica, Universidad de Atacama, CHILE. E-mail: jolivares@mat.uda.cl a

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En estos casos, el proceso estoc´stico se puede reproducir (o si se quiere simular) tan s´lo mediante a o un muestreo aplicado sobrelas distribuciones emp´ ıricas en lugar de considerar algunas de las distribuciones te´ricas conocidas. Resulta aconsejable el empleo, en primer lugar, de las distribuciones te´ricas o o convencionales y si ninguna de ellas describe adecuadamente el comportamiento del proceso, entonces deberemos, necesariamente, recurrir a distribuciones emp´ ıricas. La primera meta de este cap´ ıtulo, es proveerun conjunto de t´cnicas espec´ e ıficas para generar (con una computadora) valores de variables aleatorias a partir de las distribuciones de probabilidad m´s a conocidas, as´ como tambi´n de ciertos m´todos generales para generar los citados valores tomados ı e e como base cualquier distribuci´n emp´ o ırica que probablemente se configure al intentar la soluci´n de o problemas estoc´sticos. a Alconsiderar los procesos estoc´sticos que involucran variables continuas o discretas, pero siempre a de tipo aleatorio, definimos una funci´n FX (x) llamada funci´n de distribuci´n acumulada de x, la cual o o o denota la probabilidad de que una variable aleatoria X tome un valor menor o igual a x. Si la variable aleatoria es discreta, entonces x tendr´ valores espec´ a ıficos y FX (x) ser´ una funci´nescalonada. Si a o FX (x) es continua en el dominio de x, entonces esta funci´n es podr´ diferenciar, para lo cual se define o a fX (x) = d FX (x) /dx. La derivada fX (x) recibe el nombre de funci´n de densidad de probabilidad. o La funci´n de distribuci´n acumulada se puede proponer matem´ticamente como sigue: o o a
x

FX (x) = P (X ≤ x) =
−∞

fX (t) dt

(1)

donde FX (x) se define en elintervalo 0 ≤ FX (x) ≤ 1 y fX (t) representa el valor de la funci´n de o densidad de probabilidad de la variable aleatoria X cuando X = t. Los valores de tales variables uniformemente distribuidas en el intervalo (0, 1) juegan un papel muy importante en la generaci´n de los valores de variables aleatorias, obtenidas a partir de otros tipos de o distribuci´n de probabilidad. o Se tienen tres...