Variacion de funciones

TEMA Variación de funciones
Los antecedentes que se tienen que tener para poder comenzar a estudiar este tema son: Sea f(x) definida en un intervalo I que contiene a c: 1. F( c ) es un valor mínimo de f en I si f( c) es ≤f(x) para toda x en I (Vx e I) 2. f ( c ) es un valor máximo de f en I si f( c ) ≥f(x) para todo x en I (Vx e I) Se consideran al máximo y mínimo de una función en el intervaloI como valores extremos de la función.

Teorema de W eistrass (pronunciación: wai-strass): Sea la función y = f(x) Las condiciones que tiene que cumplir son: 1. Continua en el intervalo cerrado [a,b] 2. Entre todos los valores de f(x) en el intervalo [a,b] hay un valor M llamado máximo absoluto que no es superado por ningún otro valor de f(x), y existe un valor m llamado mínimo absoluto que nosupera a ningún otro valor de f(x) en el intervalo cerrado [a,b]. Se representa de la siguiente forma: F(x1) m < f(x) < M = f(x2) Notas: M=máximo absoluto M=mínimo absoluto
“Sólo se puede hablar de M y m en intervalos cerrados” “Pueden coincidir M y m con a y b”

Teorema de Bolzano: Sea y = f(x)y las condiciones que tiene que cumplir son: 1. Continua en el intervalo [a,b]

Cuando se cumple hayuna curva

2. Sea y0 un valor de f(x) tal que se cumple que éste valor esté entre el MA y mA mA ≤ y0 < MA 3. Exista cuando menos un valor de x0 dentro del intervalo [a,b] donde y0 = f(x1) = f(x2).

Teorema de Rolle: Sea la función y = f(x) tiene que cumplir con:

Abarca teorema de Weistrass y de Bolzano.

1. Ser continua en todo punto del intervalo cerrado [a,b] 2. Diferenciable en todopunto de su interior (a,b). 3. Si f(a) = f(b); entonces nos lleva a concluir que: 4. Existe al menos un número c en (a,b) en el cual f ‘(c) = 0.

Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial: Sea una función f(x), tiene que cumplir con:

1. Ser continua en un intervalo cerrado [a,b] 2. Derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces

3. existe un numero c dentro del intervalo abiertoen (a,b) tal que se va a cumplir que:
cε (a, b)

f ' (c ) =

f (b) − f (a ) b−a

El punto “c” está sobre la curva

Hay que tomar en cuenta que: f (b) − f (a ) b−a

f ' ( x) = m recta sec ante =

f ' (c) = m recta tan gente

Si yo prolongo a “b” de tal forma que c=Ma, me dará un caso particular que pertenece al teorema de Rolle.

Teorema de Cauchy o Teorema del valor medio delCálculo Diferencial extendido: Si se tienen dos curvas dadas por f(x) y g(x); es necesario que cumplan con: 1. Ser continuas en el intervalo cerrado [a,b] 2. Derivables en el intervalo abierto (a,b) 3. La derivada de g; (g’(x)≠0) en cualquier punto del intervalo, existe entonces 4. Un número c tal que se cumple que el cociente de las derivadas f’(x) entre g’(s) es igual a: f (b) − f (a) f (b) − f (a )∆y1 f ' ( x) b−a = = = Si f (x) y g (x) donde g ' ( x) ≠ 0 g ' ( x) g (b) − g (a) g (b) − g (a ) ∆y 2 b−a Ejercicios: I. Investigar si el teorema de Rolle es aplicable a la función: f ( x) = el intervalo de [0,2]. x2 −x+4 2 en

En caso de que se cumpla obtener el valor de x dentro del intervalo que satisfaga el teorema. Resolución: 1. Observar si es continua x2 −x+4 2 funciones polinómicas sonderivables) Como es polinómica, f ( x) = Sí es continua en f(x) en [0,2] 2. Observar su derivabilidad
f ' ( x) = x − 1

(pues hay que recordar que todas la

para (0,2) sí cumple ya que sigue siendo una función polinómica.

3. f(a)=f(b) (2) 2 (0) 2 f (2) = − (2) + 4 = 4 f (0) = − (0) + 4 = 4 2 2 Se llega a: f’(x)=0
f ' ( x) = x − 1
0 = x −1

f(b)=f(a)

x =1

Este valor tiene que estardentro de mi intervalo

Como sí está este valor en el intervalo entonces es el valor en que se cumple el teorema, y donde la pendiente es igual a cero.

x 2 − 2 II. Sea la función f ( x) para 2 x − 3
Resolución:

x ≤1 x >1

1. Observar si es continua Es necesario observar que cumpla en todos los intervalos, como son funciones polinómicas, puede llegarse a pensar que es continua,...