Vector

b) u y v paralelos. En tal caso no definen un triángulo, y es v = k.u
(u • v) = ( u1,u2 • k u1, k u2 ) = k u12 + k u22 (el signo depende de k).
|u| |v| = u12 + u22  ku12 + ku22 = k (u12 + u22) (siempre > 0)

Vemos que (u • v) =  |u| |v|, dependiendo elsigno del signo de k. (positivo si tienen igual sentido; negativo si tienen sentido opuesto), lo que puede generalizarse como:
(u • v) = |u| |v| cos , llegándose a idéntica conclusión que en elcaso anterior.

Vectores ortogonales

Se aprecia que a partir de la definición el vector nulo es ortogonal a cualquier otro vector, lo cual es conveniente para temas posteriores.
Cuando losvectores son no nulos la definición concuerda con el concepto clásico de ortogonalidad, asociado a que el ángulo comprendido entre ambos sea recto.

u  v   =   u • v = | u | | v | cos =0
y
u • v = 0  | u | | v | cos = 0  algún vector es nulo
ó
cos = 0   =  /2

Proyeccionesortogonales
Las proyecciones ortogonales de v = (v1,v2) sobre los ejes cartesianos son:
Px v = v1 i ; Pyv = v2 j
Se verifica que:
v = Px v + Pyv y Px v  Pyv

Esposible abordar el problema en forma más general y determinar las proyecciones sobre una dirección cualquiera, no necesariamente paralela a los ejes.

Por relación trigonométrica:
cos  = | Puv || v |
Por def de ángulo entre dos vectores:  | Puv | = ( v • u´) ( | u´ | =1 )
cos  = ( v • u´) = ( v • u´)| v | | u´ | | v |

Puv = | Puv | u´ 

Probar que en si en vez de considerar un u´
unitario se opera...