VECTORES EL ESPACIO Y SUPERFICIES CU DRICAS UMC 1

´
BANCO DE PROBLEMAS - TAREA 1 - CALCULO
III - UMC
´
UNIDAD I: VECTORES, EL ESPACIO Y SUPERFICIES CUADRICAS
1. VECTORES ORTOGONALES
→
→
1. Determine un escalar α de manera que los vectores −
v = (2, −α, 3) y −
w = (3, −2, α)
sean ortogonales.
→
→
2. Determine un escalar α de manera que los vectores −
v = (α, −5, 2α) y −
w = (3, α, 1)
sean ortogonales.

→
→
3. Halle un vector −
v = (a, b, 1) quesea ortogonal tanto a −
v = (3, 1, −1) como a
−
→
w = (−3, 2, 2).
→
→
4. Halle un vector −
v = (a, 2, c) que sea ortogonal tanto a −
v = (3, −9, 3) como a
−
→
w = (−2, 6, −2).
2. VECTORES PARALELOS
→
→
1. Obtenga un escalar α de manera que −
v = 3i + αj − 6k y −
w = −i + 9j + 2k sean
paralelos.
√
→
→
→
→
2. Sea −
v = 3i + 7j + 6k. Encuentre un vector −
w que sea paralelo a −
v y que ||−
w ||.

3.Sean los puntos B(2, 0), C(0, −2), D(−1, 0) y P (x, y) en el plano. Digas las coorde−−→
−−→
nadas de P para que el vector DP es paralelo al CB de igual sentido y de mitad
longitud que ´el.

4. Dados los puntos A(−10, −6, −8) y B(10, 9, 12), hallar las coordenadas del punto C
−→ 3 −→
tal que: AB = AC
2
5. Dados los puntos A(−10, −6, −8) y B(10, 9, 12), hallar las coordenadas del punto E
−→ −−→
talque: 4AE = EB
´
3. ESCALAR Y ANGULOS
→
→
1. Determine un escalar α de manera que el ´angulo entre −
v = i + αj y −
w = i + j sea
◦
de 45 .
2. Determine para que valores de a y b son paralelos los planos α : 2x + a · y + 4z − 3 = 0
y β : 4x − 3y + b · z + 4 = 0.
−
→
−
→
3. Halle un vector
√ que sea ortogonal tanto a v = (1, −1, 0) como a w = (2, 0, 1) cuyo
m´odulo sea 24.
4. Sean los puntos A(−4,−1) y B(2, 3). Hallar las coordenadas del punto M (x, y) que
−−→
cumple la condici´on: m(∡M AB) = 30◦ , ||AM || = 3, x < 0, y < 0

5. Sean los puntos A(−4, −1) y B(2, 3). Hallar las coordenadas del punto M (x, y) que
−−→
cumple la condici´on: m(∡M AB) = 45◦ , ||AM || = 2, x < 0, y > 0

6. Sean los puntos A(−4, −1) y B(2, 3). Hallar las coordenadas del punto M (x, y) que
−−→
cumple la condici´on: m(∡MAB) = 60◦ , ||AM || = 3, x < 0, y > 0

7. Sean los puntos A(−4, −1) y B(2, 3). Hallar las coordenadas del punto M (x, y) que
−−→
cumple la condici´on: m(∡M AB) = 135◦ , ||AM || = 5, x < 0, y < 0

8. Sean los puntos A(1, 1, 1) y B(5, 1, −2) dos puntos. Hallar las coordenadas del punto
−−→
−
→
M en el plano Z = 0, tal que: m(∡M AB) = 45◦ , ||AM || = 2
Prof. Johan Castro Hern´andez. P´ag. 1 de 7

9.Sean los puntos A(1, 1, 1) y B(5, 1, −2) dos puntos. Hallar las coordenadas del punto
−−→
M en el plano Z = 0, tal que: m(∡M AB) = 60◦ , ||AM || = 2
10. Sean los puntos A(1, 1, 1) y B(5, 1, −2) dos puntos. Hallar las coordenadas del punto
−−→
−
→
M en el plano Z = 0, tal que: m(∡M AB) = 30◦ , ||AM || = 2 3
11. Sean los puntos A(1, 1, 1) y B(5, 1, −2) dos puntos. Hallar las coordenadas del punto−−→
−
→
M en el plano Z = 0, tal que: m(∡M AB) = 135◦ , ||AM || = 5 2
12. Sean los puntos A(1, 1, 1) y B(5, 1, −2) dos puntos. Hallar las coordenadas del punto
3 −−→
7
M en el plano Z = 0, tal que: tg(∡M AB) = , ||AM || =
4
4
13. Sean los puntos A(1, 1, 1) y B(5, 1, −2) dos puntos. Hallar las coordenadas del punto
−4 −−→
, ||AM || = 3
M en el plano Z = 0, tal que: tg(∡M AB) =
3
´
´
4. AREA
DELTRIANGULO
1. Calcule el ´area del tri´angulo cuyos v´ertices est´an determinados por los puntos A(1, 2, 4),
B(1, −1, 3) y C(−1, −1, 2)
2. El v´ertice de un tri´angulo equil´atero, est´a en P (10, 2, −2). Su lado opuesto est´a sobre
la recta de intersecci´on de los planos α : 7x − 11y + z = 10 y β : x + 3y − z = 6.
Hallar los v´ertices y el ´area del tri´angulo.
3. C´alcule el ´area del tri´angulo dondesus v´ertices son A, B y C. Donde A es la interx−5
y
secci´on L1 :
=
, z = 1 con L2 : x − t = 0, y − 2t = 0, z = 1 + t. B y C est´an
2
−1
x−3
= z + 5, y = 4 y equidistan del punto (5,4,-4) a una distancia
en la recta L3 :
2
−
→
de 5 unidades.
4. Hallar los v´ertices de un tri´angulo equilatero que tiene v´ertice en M (3, 4, 1) y un
lado sobre la recta L : x = 1 + k, y = 3, z = k y calcule su...