Vectores

Vectores Tercera Parte

OBJETIVOS: Representar vectorialmente un vector en el espacio tridimensional. Operar correctamente con productos vectoriales. Plantear y resolver problemas sencillos de una partícula en equilibrio.

REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR EN UN SISTEMA DE COORDENADAS
r En el espacio tridimensional . Análogamente a lo visto en el plano, un vector a se

representa por suscomponentes : ax , a y , az

a lo largo de los tres ejes en el espacio.

Usualmente el punto con sus coordenadas se representa

r Fig. 1- Componentes cartesianas del vector a .

1

r El vector a puede expresarse en función de sus componentes cartesianas y de los

vectores unitarios rectangulares, en la siguiente forma: r ˆ ˆ a = (ax , a y , az ) = ax i + a y ˆ + az k j

donde lascomponentes cartesianas están dadas por:

ax = a ⋅ senβ ⋅ senθ
ay =

a ⋅ cos β

az =
La magnitud del vector

a ⋅ senβ ⋅ cos θ

r a se determina por:

r 2 2 a = ax + a y + az2
Los ángulos β y θ determinan la dirección del vector
r a:

β

=

arccos(

ay a

)

θ

ax arctg ( ) = az

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PRODUCTO VECTORIAL

1. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES: Producto Punto. r r El productoescalar o producto punto entre dos vectores a y b es el escalar que r r resulta de multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo que forman, se denota a b , es decir:

r r r r a b= a ⋅b
r b

⋅ cos θ

θ
0 Fig. 2.
r r En la Fig.2 θ es el ángulo entre los vectores a y b . El resultado del producto escalar de

r a

dos vectores es un número, que puede ser positivo, negativo o cero,según el signo del coseno, pues depende del ángulo que forman los vectores.

PROPIEDADES

Sean

r r a, b

y

r c tres vectores,
es conmutativa es

r r r r 1. a · b = b · a
2.

m escalar.

r r r a ·( b + c

)=

r r r r a ⋅b + a ⋅c

distributiva respecto de la suma. 3. Si m es un escalar, se verifica: r r r r r r m( a · b )=(m a )· b = a ·(m b )

3

r r = ( a · b )m

4 .Sidos vectores son perpendiculares, su producto vectorial es nulo. (cos90º = 0 ). Por lo tanto:

ˆ j j ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ j ˆ ˆ j i ˆ= ˆ i =i k =k i = ˆ k =k ˆ=0
5. El producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado de su módulo:

r r a ·a=

r r a ⋅ a ⋅ cos 0º

r2 = a

Luego se tiene: ˆ ˆ j j ˆ ˆ i ⋅i = ˆ ⋅ ˆ = k ⋅ k = 1

4

EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO PUNTO

El productoescalar de los vectores r ˆ ˆ a = ax i + a y ˆ + az k j y r ˆ ˆ b = bx i + by ˆ + bz k desarrollando como producto de dos polinomios es: j r r a · b = ax bx + a y by + az bz

Ejemplo ilustrativo 1.

1.1. Determinar el producto escalar entre los vectores: r r ˆ ˆ j ˆ ˆ j a = 2i − ˆ + k y b = −i − ˆ + 2k
Solución: r r a · b = ax bx + a y by + az bz

= 2·(-1) + (-1)·(-1)+ 1·2 r r ∴ a· b = 1 1.2.¿ Cuál es el ángulo entre los r r vectores a y b ?
Solución:

Se sabe
r r r r a b = a ⋅ b ⋅ cos θ

donde: r a= 6

;

r b=

6

Luego:
cos θ
r a = r a r b r = b

1 1 = 6⋅ 6 6

∴

θ = 80,4º

5

Ejemplo ilustrativo 2.

Sean los vectores: r r r a = ( 2,-2,1) ; b = (0,-2,2) y c = (1,1,-1) r r r r Calcular: ( a - 2 b ) (2 b + c )
Solución:

Por determinar: r r ( a - 2 b ) =( 2,-2,1) –2· (0,-2,2) = (2,2,-3) r r (2 b + c ) = 2· (0,-2,2) + (1,1,-1) = ( 1,-3,3) Luego: r r (a - 2b )
r r (2 b + c ) =(2,2,-3) (2,2,-3)

∴

r r ( a - 2b )

=4+4+9 r r (2 b + c ) = 17

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2. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES: Producto Cruz. r r r r r r El producto vectorial de dos vectores a y b es otro vector C ( C = a × b ) r r - De módulo igual al producto de los módulos de ay b por el seno del ángulo que

forman:
r r r r r a × b = C = a ⋅ b senθ

-Perpendicular al plano determinado por
r r a y b. r r -De sentido al avance del sacacorchos o del tornillo que gira de a a b .

r r Fig.3. El vector a × b es perpendicular a r r a y a b.

PROPIEDADES
r r r Sean a , b y c tres vectores ,

m escalar. r r r r 1. a × b ≠ b × a no es conmutativa r r r r r r r 2....