Vectores

UNPSJB ² Facultad de Ingenieria ² Sede Ushuaia

Apuntes de la Cátedra:

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA

TEMA: VECTORES EN R² Y R³

Ing. Rodolfo Iturraspe Profesor Adjunto Prof. Juana Candia J. de Trabajos Prácticos Ing. Sergio Luppo Auxiliar de Primera

Años 1999-2003

Cátedra Algebra y Geometría Fac. Ingeniería UNPSJB ² Sede Ushuaia

VECTORES EN R ² Y R³

VECTORES EN R2 Y R3
Contenidos:Segmentos orientados y vectores. Suma. Propiedades. Distancia entre vectores. Vector unitario. Vectores canónicos Producto por un escalar. Cosenos directores. Producto escalar. Propiedades y aplicaciones. Proyecciones ortogonales. Producto vectorial. propiedades y aplicaciones. Producto mixto. Interpretación geométrica del producto vectorial y producto mixto. Ecuación de la recta en el espacio.Formas vectorial, paramétrica y simétrica. Ecuación del plano en el espacio. Intersecciones.

Vectores en el Plano Hay una concepción geométrica del significado de un vector y una concepción algebraica, ambas compatibles.
p

Segmento dirigido PQ es el segmento de recta con origen en P y extremo en Q. Notar que PQ{ QP. Q Las propiedades que caracterizan de un segmento dirigido P P¶ Dos segmentosdirigidos son equivalentes si y sólo si tienen igual módulo, dirección y sentido. p p PQ | P¶Q¶ Se puede considerar que existen en el plano infinitos vectores equivalentes a un segmento dirigido PQ. Denominaremos vector PQ, o vector v a todo elemento de ese conjunto. Los dos segmentos representados son representantes del vector v. 1
p

Q¶

son su magnitud o módulo, su dirección y su sentido.No obstante dos segmentos que sean coincidentes en estas características son distintos si no son coincidentes en el origen

v se representa trasladando PQ al origen de coordenadas de R2 En estas condiciones v admite una expresión como par ordenado en donde el par ordenado indica las coordenadas de su extremo v = (a,b). a y b se denominan también componentes del vector v. Este concepto es másutilizado desde el punto de vista algebraico. El módulo de v es un número real que representa su longitud |v| = ˜a2 + b2 (por consecuencia directa de Pitágoras)

1

La notación más usual para vectores en R² y R³ es la forma tipeo, serán indicados en negrita minúscula: v

v ; pero para simplificar el 1

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VECTORES EN R ² Y R³Ejercicio: Demuestre que: |v|=0v=0 La dirección de v define un ángulo U entre v y la dirección del eje horizontal x (llamado también eje de las absisas) en su sentido positivo. Dos vectores tienen igual dirección si y sólo si sus ángulos respectivos con dicho eje son iguales. En tal caso se dice que son paralelos. El vector nulo no tiene dirección ni sentido. Si v es no nulo y v1 = 0   U =Tf2 Si v es no nulo y v1 { 0   U = arc tag( b/a) El sentido es comparable entre vectores paralelos: Dos vectores paralelos u = (u1,u2) y v = (v1,v2) tienen igual sentido si con un origen común generan la misma semirrecta. O bien desde un punto de vista algebraico y en caso de componentes no nulas, si u1/v1 >0 y u2/v2>0. Si los cocientes son negativos, sus sentidos son opuestos. (además, al ser //resulta u1/v1 = u2/v2) Suma de vectores u + v = (u1,u2) + (v1, v2) = ((u1+v1),(u2+v2)) u2+v2 u2 v2
v v u u+v

u1

v1 u1+v1

u

v

u+v+t

Gráficamente, se obtiene u + v trasladando el origen de v al extremo de u. El vector suma, cuyas componentes son (u1+v1, u2+v2) tiene por origen el origen de u y por extremo, el extremo de v. Desde otro punto de vista, la suma u + v está dada por ladiagonal del paralelogramo que forman u y v con sus pares paralelos, cuyo origen es el origen común. El primero de los criterios de suma gráfica puede extenderse a la suma de más de dos vectores

t

Resta
-v u v u-v u-v

Restar dos vectores es sumar al primero el opuesto del segundo: u ± v = u + (-v) Gráficamente, u - v es equivalente al segmento orientado cuyo origen es el extremo de v y...