vectores



VECTORES



A partir de la representación de , como una recta numérica, los elementos (a;b)2 se asocian con puntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares donde la intersección representa a (0;0) y cada (a;b) se asocia con un punto de coordenada en la recta horizontal (eje ) y la coordenada en la rectavertical (eje ).
Análogamente, los elementos (a,b,c) 3 se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes , y ).
Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en 2 y en 3. La dirección de la flecha indica la dirección delvector y la longitud de la flecha determina su magnitud.












Notación
Los vectores se denotarán con letras minúsculas con una flecha arriba tales como , Los puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como , , . En el contexto de los vectores, los números reales serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas cursivas tales como ,,.Elementos de un vector
Modulo: Es el número de unidades contenidas en el vector, es decir, es la medida del segmento. Por lo tanto el modulo de un vector es un número no negativo y se simboliza: o
Dirección: Es lo que tienen en común la recta que incluye al vector y todas las paralelas a ella.
Sentido: Esta indicado por la flecha que se coloca en el extremo del vector.
Si el punto inicial de unvector es y el punto final es , entonces
Los versores asociados con las direcciones de los ejes coordenados cartesianos X, Y, Z se designan por i, j, k respectivamente. Los versores cartesianos permiten expresar analíticamente los vectores por medio de sus componentes cartesianas. Ejemplo: la expresión analítica del vector = (1, -2,3) es =
Un versor es todo vector demodulo 1. Se simboliza con una semicircunferencia arriba de la letra que lo caracteriza ( Ejemplo , y se lee versor u)
El vector nulo se denota con = (0,0,….0), o sea que sus componentes son nulas
Un vector es equipolente a otro cuando sus componentes homologas son iguales
(a1,a2,…,an) = (b1,b2,…,bn) sí y solo sí a1 = b1 , a2 = b2 ,…, an = bn
Un vector es opuesto a otro cuando suscomponentes homologas solo difieren en el signo
Así, el opuesto de = ( u1,u2,…un) se simboliza -= ( -u1,-u2,…-un)



NOTA: Para las secciones que siguen y con el afán de generalizar, estudiaremos a continuación las propiedades de los vectores en n. Un vector en n es un ene-tuple (x1,x2,…,xn) con cada xi . A xi se le llama componente i-ésima del vector.


Operaciones Básicas
Suma y restaLa suma de dos vectores es el vector que tiene por componentes a la suma de las componente homologas de los vectores dados.
Consideremos los vectores = ( v1,v2,…vn)  n y = (w1, w2,…wn)  n
+ = (v1+w1,v2+w2,…,vn+wn) y - = (v1-w1,v2-w2,…,vn-wn)
Ejemplo: Sea = (1,3,4) y = (3,1,4)









Multiplicación por un escalar
Un escalamiento de un vector,por un factor , se logra multiplicando cada componente por el mismo número real
Consideremos el vector = ( v1,v2,…vn)  n y el escalar k  , entonces:
k= (kv1,kv2,…,kvn)
Ejemplo: Sea = (1,3,4) entonces


Propiedades de los Vectores

Consideremos los vectores ,,  n y α, β   entonces:

1. + =
2. + (-) =
3. 0. =
4. 1. =
5. + = +
6. (+)+ = +(+)7. α.(+) = α+ α
8. (α+β). = α+β
9. (αβ) = α.(β)

Ejercicio: Demostrar cada una de las propiedades de los vectores dadas.

Ejemplo:





Producto punto y norma
El producto punto (o escalar) es una operación entre vectores que devuelve un escalar. Esta operación es introducida para expresar algebraicamente la idea geométrica de magnitud.
Consideremos los vectores = (u1, u2, …un) ...