Vectores

´
Apoyo para la preparacion de los estudios de
Ingenier´ y Arquitectura
ıa
´
F´
ısica (Preparacion a la Universidad)

Unidad 4: Vectores

´
Universidad Politecnica de Madrid
5 de marzo de 2010

2

4.1.
4.1.1.

Planificaci´n de la unidad
o
Objetivos

1. Clasificar las magnitudes m´s importantes en escalares y vectoriales.
a
2. Expresar un vector en sus componentes y operarcon los vectores.
3. Conocer las propiedades del producto escalar.
4. Conocer las propiedades del producto vectorial.
5. Utilizar los productos escalar y vectorial para calcular distancias, areas, etc de inter´s
´
e
en geometr´
ıa.

4.1.2.

Actividades

1. Lectura del resumen del tema
2. Realizaci´n del cuestionario.
o
3. Realizaci´n de los ejercicios
o
4. Actividadescomplementarias
a) Buscar informaci´n sobre vectores en internet.
o
b) Redactar una peque˜a rese˜a (m´ximo 1 p´gina).
n
n
a
a

4.1.3.

Bibliograf´
ıa

1. Libros de primero y segundo de Bachillerato.
2. Libros de primero y segundo de Bachillerato de Matem´ticas.
a
3. P.A. Tipler y G. Mosca, F´
ısica para Ciencias e Ingenier´
ıa”, 5a Edici´n, Editorial
o
Revert´, 2005.
e

4.1.4.Enlaces relacionados

1. Proyecto Descartes (Matem´ticas ESO y Bachillerato)::
a
Descartes: http://descartes.cnice.mec.es/
2. P´gina web con actividades de vectores: http://www.xtec.cat/~jbartrol/vectores/
a
index.html

4.2. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

4.2.

3

Magnitudes escalares y vectoriales

Una magnitud escalar est´ determinada completamente por un unico n´mero con lasa
´
u
unidades apropiadas y no tiene direcci´n, ni sentido. Una magnitud vectorial est´ determio
a
nada completamente por un n´mero con las unidades apropiadas (m´dulo), una direcci´n
u
o
o
y un sentido
Un ejemplo lo tenemos en la figura 4.1 Una part´
ıcula viaja de A a B a lo largo del
camino representado por la l´
ınea roja discontinua esta es la distancia que ha recorrido y
es unescalar El desplazamiento es la l´
ınea negra continua de A a B El desplazamiento
es independiente del camino que tomemos entre ambos puntos El desplazamiento es un
vector.

Figura 4.1: Ejemplo de vector

4.3.

Sistemas de referencia

Se utilizan para describir la posici´n de un punto en el espacio. Un sistema de cooro
denadas consiste en:
un punto de referencia que llamaremos origenejes espec´
ıficos con escalas y etiquetas
instrucciones de c´mo designar un punto relativo al origen y a los ejes
o
Existen varios sistemas de coordenadas de inter´s en los problemas de la F´
e
ısica. El
sistema m´s utilizado es el sistema de coordenadas cartesianas, bien en el plano o en el
a
espacio. Tambi´n resultan de inter´s las coordenadas polares en el plano, las coordenadas
e
ecil´
ındricas y esf´ricas en el espacio.
e

4

Figura 4.2: Sistemas de coordenadas cartesianas

4.3.1.

Sistema de coordenadas cartesianas en el plano

Tambi´n llamado sistema de coordenadas rectangular. Consta de dos ejes x e y que se
e
cortan en el origen, formando un angulo recto. Los puntos se designan (x, y)
´

4.3.2.

Sistema de coordenadas polares en el plano

Esnecesario definir un origen y una l´
ınea de referencia El punto se define como la
distancia r desde el origen en direcci´n del ´ngulo θ, en direcci´n antihoraria desde la
o
a
o
l´
ınea de referencia. Los puntos del plano se denotan como (r, θ)
Para hacer el cambio de coordenadas entre coordenadas cartesianas y polares en el
plano, construimos un tri´ngulo rect´ngulo a partir de r y θ
a
a
x= r cos θ
y = r sen θ
Para hacer el cambio inverso, tomamos r como la hipotenusa y θ como el angulo con
´
el eje.
y
x
x2 + y 2

tan θ =
r=

θ se toma en sentido antihorario desde el eje X positivo

4.3. SISTEMAS DE REFERENCIA

Figura 4.3: Sistemas de coordenadas polares

Figura 4.4: Cambio de coordenadas cartesianas a polares

5

6

4.3.3.

Sistema de coordenadas...