Vectorial

Practica # 2

1.1. El producto triple vectorial

Si a, b y c son tres vectores cualquiera, entonces la expresión

a x (b x c)

Se llama el producto triple vectorial de a con b y c.
Notas:
1. El producto triple vectorial es claramente una cantidad vectorial.
2. Los paréntesis son importantes pues puede demostrarse que en general


a x (b x c) ≠ (a x b) x c


Ilustración Sean tresvectores posición, con el origen como punto
Común. Entonces, a x (b x c) es perpendicular tanto a a como a b x c. Pero b x c ya era perpendicular a b y a c. Es decir, a x (b x c) está en el plano de b y c.
Consecuentemente, (a x b) x c, que es lo mismo que –c x (a x c), estará en el plano de a y b.
1.2. La fórmula para el producto triple vectorial
Supongamos que
a = a1i + a2j + a3k, b = b1i +b2j + b3k, c = c1i + c2j + c3k.
Entonces,
I j k
A x (b x c) = a x b1 b2 b3
c1 c2 c3

I j k
= a1 a2 a3
(b2c3 - b3 c2) (b2c3 - b3 c2) (b2c3 - b3 c2)
La componente i de este vector es igual a

a2 (b1c2 - b2c1)- a3 (b3c1 - b1c3) = b1 (a2c2 + a3b3) - c1 (a2b2 + a3b3).

Añadiendo y substrayendo a1b1c1, la expresión de la derecha puede arreglarse de la forma

(a1c1 + a2c2 + a3c3) b1 - (a1b1 + a2b2 + a3b3) c1.

Esta es la componente i del vector

(a • c) b – (a • b) c

Expresiones similares pueden obtenerse para las componentes j y k.
Concluimos que:

A x (b x c) = (a • c) b - (a • b) c1.3. EJEMPLO DE APLICACIÓN

Determinar el producto triple vectorial de a con b y c, donde

a = i + 2j - k, b = -2i + 3j, c = 3k.
Solución

a • c = - 3 y a • b = 4.

Por lo tanto,

(a x b) x c = -3b - 4~c = 6i - 9j - 12k.

2.1. PLANOS CRISTALOGRAFICOS
Los planos cristalográficos se denotan por los índices de Miller. Estos índices corresponden a los inversos de los puntos de cortedel plano que queremos caracterizar con cada uno de los ejes de coordenadas, y se representan entre paréntesis sin comas (hkl). Los índices de Miller pueden representar a un plano o a toda una familia de planos paralelos que tienen la misma orientación. Para calcular los índices de Miller hemos de hacerlo siempre sobre un plano de la familia que no pase por el origen.
Como ejemplo encontraremoslos índices del plano XY. Este plano no corta ni el eje X ni el eje Y, los corta en el infinito, en cambio el eje Z lo corta, por ejemplo en el 1. Entonces los índices de Miller 1/1) = (001). 1/para el plano XY son (hkl) = (1/
Para que la imagen quede clara, en el Visor de Planos cristalográficos se ha escogido la opción de que los índices de Miller sólo representen uno de los infinitosplanos posibles. Dicho plano es mostrado mediante los átomos del cristal incluidos en él. Los planos sólo tienen utilidad cuando hablamos de cristales, por lo tanto esta funcionalidad sólo estará activa si lo queremos aplicar a cristales.

2.1. NOMENCLATURA DE ÍNDICES DE MILLER, para planos y direcciones cristalográficos.

Entendemos por planos y direcciones cristalográficos a planos y direccionesque contienen tomos de un cristal dado. Consideramos que un átomo pertenece a un plano (dirección) cuando el centro de ese átomo está en dicho plano (dirección).Supongamos que interesa medir la susceptibilidad magnética o el módulo de Young de un monocristal de Cu. Se obtienen diferentes valores de la propiedad según la dirección cristalina en que se haga la medición, por ejemplo, según unaarista o una diagonal de la celda. Se dice que un material es anisótropo cuando sus propiedades dependen de la dirección según la cual se hace la medida; claramente los monocristales son anisótropos, en tanto que los materiales amorfos son isótropos. En efecto, en los cristales, al variar la dirección cristalográfica, cambia la distancia entre los átomos alineados, lo cual es un indicador de que hay...