Viaje del elefante

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Juan José Isach Mayo 28/10/2009

Ecuaciones exponenciales
Resuelve las siguientes exponenciales Ejercicio 1 3 6 = 9 7 3 6 = 9 7 ! 3 6 = (32 ) 7 = 3
x 6 x 6 12 7 x 6

! 22 7

12 x = 6 7

x= Ejercicio 2 p 42x
2

= 16
1

k p p 2x 2 Como Ak = A 2 entonces ; 42x 2 = 4 2 = 4x p Por lo tanto la ecuación 42x 2 = 16 queda así: 22x 2 = 16 = 24 ! 2x 2= 4 x=3 Ejercicio 3 3x 3x
2 2

= 22

x

1

= 22x

2

5x

=
1 729

1 729

5x

=

=

1 36

= 3 5

6

x= Ejercicio 4 39x
4 4

p

! x2 25 2 24

5x = = 5 2

6 ! x2 1

5x + 6 = 0

10x +1
2

2

=1

39x 10x +1 = 1 = 30 ! 9x4 10x2 + 1 = 0 Resolviendo la ecuación bicuadrada tendremos: p p 10 100 36 10 64 1 2 x = = = 1 18 18 9 Con lo que: 1

x2 = 1 1 x=1 Ejercicio 5 110 + 1 = 11x 11x 110 + 11x = (11x )
2

x2 = x=

1 9 1 3 1 3

Multiplicando la ecuación por 11x tendremos:

Transponiendo términos, obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado: (11x )
2

11x p 2

110 = 0

Resolviéndola p 1 1 + 440 1 x 11 = = 2

441

=

1 2

21

=

11 10

obtenemos las siguientes ecuaciones exponenciales elementales. 11x = 11 = 11111x = 10 x=1 Imposible; ya que 11x > 0 8x 2 R Ejercicio 6 2 2x + 2x+1 + 2x+2 = 64 2 2x + 2x+1 + 2x+2 = 64 ! 2 2x + 2x 2 + 2x 22 = 64 Sacando factor común 2x a la izquierda de la ecuación: 2x (2 + 2 + 4) = 64 ! 2x 8 = 64 ! 2x = 64 = 8 = 23 8 x=3 Ejercicio 7 2 =
x 1 2x
1

1

Como 2x1 1 = 21 = 22 x x 2 La ecuación inicial queda así: 2x = 2 2x 1

Si multiplicamos la ecuación por 2x (2x ) = 22

2x

transponiendo términos, obtenemos la ecuación de segundo grado siguiente: 2 (2x ) + 2x 2 = 0 Resolviéndola : 2 =
x

1 2

p

9

=

1 3 = 2

1 4

obtenemos las siguientes ecuaciones exponenciales elementales. 2

2x = 1 = 20 x=0 Ejercicio 8 5x + 5x+1 + 5x+2 31 = 0

2x = 4 Imposible; ya que 2x > 0 8x 2 R

5x + 5x+1 + 5x+2 31 = 0 ! 5x + 5x+1 + 5x+2 = 31 5x + 5x 5 + 5x52 = 31 Sacando factor común 5x 5x (1 + 5 + 25) = 31 ! 5x 31 = 31 ! 5x = 31 = 1 = 50 31 x=0 Ejercicio 9 2x 3 22x
1

+ 5 2x

2

+ 78 = 0

22x 2x 2x 3 22x 1 + 5 2x 2 + 78 = 0 ! 2x 3 + 5 2 + 78 = 0 2 2 Si multiplicamos por 4 4 2x 6 22x + 5 2x + 312 = 0 ! 6 22x + 9 2x + 312 = 0 2 Como 22x = (2x ) ; entonces: 2 6 22x + 9 2x + 312 = 0 ! 6 (2x ) + 9 2x + 312 = 0 Tenemos una ecuación de segundogrado cuya incógnita a determinar es 2x . Resolviéndola: p p 78 9 81 + 7488 7569 9 9 87 12 2x = = = = 8 12 12 12 obtenemos las siguientes ecuaciones exponenciales elementales. 2x = 8 = 23 x=3 Ejercicio 10 4x 3 2x 40 = 0
x 2

2x = 78 12 Imposible; ya que 2x > 0 8x 2 R

Como 4x = 22 = (2x ) entonces: 2 4x 3 2x 40 = 0 ! (2x ) 3 2x 40 = 0 Tenemos una ecuación de segundo grado cuya incógnita adeterminar es 2x . Resolviéndola: p 3 9 + 160 3 13 8 2x = = = 5 2 2 obtenemos las siguientes ecuaciones exponenciales elementales. 2x = 8 = 23 x=3 Ejercicio 11 23x
1

2x = 5 Imposible; ya que 2x > 0 8x 2 R + 26x
4

8=0

3

23x 1 + 26x 4 8 = 0 ! 22 + 2 4 2 Multiplicando la ecuación por 16 8 23x + 26x
2

3x

6x

8=0

128 = 0

Como 26x = 23x entonces; obtenemos la siguiente ecuaciónde segundo grado (incógnita 23x ): 23x Resolviéndola 23x = 8 p 2 576 = 8 2 24 = 8 16
2

+ 8 23x

128 = 0

obtenemos las siguientes ecuaciones exponenciales elementales. 23x = 8 = 23 x=1 Ejercicio 13 27x + 93x 12 = 0 2 x 27x = 33 = 33x y Como 4 3x 93x = 32 = 33x 23x = 16 Imposible; ya que 23x > 0 8x 2 R 3

2 2

27x +93x 12 = 0 ! 33x + 33x 12 = 0 ! 33x +33x 12 = 0 Tenemos una ecuación desegundo grado cuya incógnita a determinar es 33x . Resolviéndola: p 1 + 48 1 7 1 3 = = 33x = 4 2 2 obtenemos las siguientes ecuaciones exponenciales elementales.

5 entonces:

2

33x = 3 = 31 1 x= 3 Ejercicio 14 2 4x 6 Como 6 4 2

33x = 4 Imposible; ya que 33x > 0 8x 2 R 5 24x + 42x + 12 = 0 4x = 22
x

= 22x

42x

y 2 24x = 22x 2x = 22 = 22x

3
2

2 4x 5 24x + 42x + 12 = 0 !...