1 Matrices 1

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1
MATRICES
Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una
matriz con filas y columnas es

Se simboliza tal matriz por
o matriz de orden x (que se lee

y se le llamará una matriz
por

x

).

Ejemplos:

Los números

se llaman componentes de la matriz.

Ejemplo:
Obtener los elementos:
Observación:
Notar que la fila y la columna del elemento
se indica por suprimero y segundo
subíndice respectivamente
La componente
de está ubicada en la fila y en la columna de la matriz ,
se dice que
ocupa el lugar
de .
Las matrices se indicarán por letras mayúsculas A, B, C,..., mientras que sus
elementos se indican con letras minúsculas
Observación :
1) Una matriz de orden x se dice
2) Una matriz de orden de x se dice
3) En una matriz, si
la matriz se llamará "
laforma

" y es de

2
En una matriz cuadrada de orden
diagonal de

las componentes

constituyen la

Ejemplo:
Clasificar las siguientes matrices según su forma:

IGUALDAD DE MATRICES

Dos matrices
el mismo orden y
iguales, es decir,

,
para cada y cada

=

son iguales si y sólo sí tienen
(esto es, entradas correspondientes son

Propiedades :
Si
(a)
(b)
(c)

son matrices de la forma

,

TRANSPUESTA DEUNA MATRIZ

Sea
una matriz de la forma
. Se llama
matriz que se obtiene al cambiar las filas por columnas en
Se denota por

Ejemplo : Si

4

2
5

3
, entonces
6

Propiedades :
Sean
1)
2)
3)

matrices de la forma

,

2
3

4
5
6

a la

3

ALGEBRA DE MATRICES

SUMA DE MATRICES
Sean

, la suma de
=

y

es la matriz :

tal que

Ejemplo:
1)

A=

4 -1
-2 0
A+ B =

2)

A=

3
,
7
4 -1
-2 0

3 2 4
,
-5 12

B =

3 7 4
-5 1 2

3
3
+
7
-5
3
B = -1
4

7 4
7 6 7
=
1 2
-7 1 9
5
0
1

A + B no está definida ya que las matrices no son del mismo tamaño

Propiedades :
Para poder efectuar las sumas las matrices deben tener el mismo orden.
1) Clausura :
Si
son matrices de la forma x entonces
también son matrices de la
forma x .
2) Propiedad Asociativa :
3) Propiedad Conmutativa :
4) Propiedad del neutroaditivo : A + 0 M = A
Se llama matriz cero aquella que tiene todas sus componentes iguales a cero.
M

[0ij ]mxn =

5) Propiedad del inverso aditivo :
Si
designamos por
La matriz

es el inverso aditivo de

la matriz
pues

Observación :
Se puede definir la diferencia o resta de matrices :
6) Propiedad cancelativa aditiva :

M

4

MULTIPLICACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR.

Se llamará un escalar acualquier elemento del conjunto de los Reales
Sean
y
un escalar.
Se define la multiplicación de la matriz por el escalar a la matriz :

Es decir :

2
Ejemplo

1

6
6
12

3

Propiedades :
Si ,
1)
2)
3)
4)
5)

y

3
9
21

se tiene :

A = 0,

PRODUCTO DE MATRICES.

Sean

y
donde
...

AB =

Observación :

entonces el producto de

por

es la matriz

5

jemplo :

Si

y

no está definido ya que el

numero decolumnas de B no es igual al número de filas de A.
El producto de matrices no es conmutativo.
Propiedades :
1) Si
matrices , entonces
igual al número de filas de .
2) Si
entonces :
3) Si

está definido si el número de columnas de

matrices, de órdenes

y

es

respectivamente ;

, C entonces, siempre que las sumas o productos puedan efectuarse:

4) No existe ley de cancelación para el producto. Osea :
Si
M no se puede deducir que A
t
t t
5) (AB) = B A

M

M

Propiedades:
1) Propiedad de Clausura : Si
y
son matrices de orden
matrices de orden
2) Propiedad Asociativa :
3) El producto no es conmutativo
4) Propiedad del neutro multiplicativo :
La matriz identidad es el neutro multiplicativo ya que

entonces

son

Si A es una matriz cuadrada y es un número entero positivo, entonces la
potenciade A, escrita por A , es el producto de factores de A:

ésima

POTENCIA DE UNA MATRIZ

6
A

A.A.A......A ( factores)

Si A es de orden , se define A0 = I

Ejemplo:
1
1
Solución:
Si A =

0
2

calcular A3

A3 =A2 A =

1
3

0
4

1
1

0
1 0
=
2
7 8

Evaluación de un polinomio en una matriz
Sean :
coeficientes en

un polinomio en la variable
matriz de orden
la evaluación de
para

y

cuando

(matriz...