1 Vectores

Vectores en R3

MOISES VILLENA

1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5

Definición
Enfoque geométrico
Igualdad
Operaciones
Aplicaciones
Objetivos.

Se persigue que el estudiante:
•
•
•

•
•

Represente geométricamente un vector de R 3
Determine magnitud y dirección de un
vector.
Sume vectores, multiplique por un escalar a
un vector, obtenga el productor escalar y el
producto vectorial entre vectores
Obtenga elárea de un paralelogramo
sustentados por dos vectores.
Obtenga el volumen del paralelepípedo
sustentado por tres vectores.

1

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Tomando como referencia la teoría de vectores en el plano, se obtienen
definiciones y propiedades de los vectores en el espacio.
1.1 DEFINICIÓN

Un vector de R 3 es una terna ordenada de
números reales. Denotada de la siguiente manera:
→

v =( x, y , z )

1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO
Geométricamente a un vector de R
como un segmento de recta dirigido.

3

se lo representa en el Espacio

Suponga que se tienen los puntos P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) . Si
trazamos un segmento de recta dirigido desde P1
→

hacia P2 tenemos una

⎯
⎯→

representación del vector v = P1 P2 = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z1 − z 2 )
z

P2 = ( x2 , y 2 , z 2)
→

v

P1 = ( x1 , y1 , z1 )
y

x

Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en
el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza
ubicando al vector con el origen como punto de partida.
z

P ( x, y , z )
→

v

y

x

2

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1.2.1 Magnitud o norma
→

Sea v = ( x, y, z ) . La magnitud o norma de v

→

→

denotada como v ,se define como:
→

v = x2 + y2 + z 2

Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el
vector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen.
→

Para v = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 ) sería:
→

v =

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2

1.2.2 Dirección
→

La dirección de v = ( x, y, z ) está definida por la
medida de los ángulo que forma la línea deacción
del segmento de recta con los ejes x , y , z
z

→

γ

α

v

β
y

x

Los ángulos α , β y γ son llamados Ángulos Directores.

3

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Observe que:
Cosα =

x
→

=

v
y

Cosβ =

→

y
→

x2 + y2 + z2

y

=

x + y2 + z2
2

v

Cosγ =

x

y

=

x2 + y2 + z2

v

Ejercicio.
Demostrar que cos

2

α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

1.2.3 Sentido
→

El sentido de v lo define la flechadibujada sobre
el segmento de recta.
1.3 IGUALDAD DE VECTORES DE R

3

→

→

Dos vectores v1 = (x1 , y1 , z1 ) y v2 = (x2 , y 2 , z 2 ) son
iguales si y sólo si x1 = x2 , y1 = y2 y z1 = z 2
1.4 OPERACIONES
1.4.1 Suma
→

→

3
Sean v1 y v2 dos vectores de R tales que

→

→

v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) entonces la
→

→

→

→

suma de v1 con v2 , denotada como v1 + v2 , se
definecomo:
→

→

v1 + v2 = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z 2 )

4

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1.4.1.1 Propiedades
→

→

→

Sean v1 , v2 y v3 vectores de R 3 , entonces:
→

→

→

→

1.

v1 + v2 = v2 + v1

2.

→
→
→
→
→
→
v1 + ⎛⎜ v2 + v3 ⎞⎟ = ⎛⎜ v1 + v2 ⎞⎟ + v3
⎠
⎠ ⎝
⎝
→

3.

la suma es conmutativa

→

→

la suma es asociativa
→

→

∃ 0 ∈ R , ∀ v ∈ R tal que v + 0 = v ,
3

3

→

Donde 0 = (0,0,0 ) esllamado Vector Neutro
→
⎛− →
⎞=→
⎛ − →v ⎞ ∈ R 3
+
v
v
∃
∀v∈R , ⎜ ⎟
⎜
⎟ 0
tal que
⎝ ⎠
⎝
⎠
→

4.

3

⎛
⎝

→

⎞
⎠

→

Donde ⎜ − v ⎟ es llamado Vector Inverso Aditivo de v

Geométricamente:

v
+

v1

→

v1 = ( x1 , y1 , z1 )

→

2

→

z

→

v2 = (x2 , y 2 , z 2 )

y

x
→

→

Los vectores v1 y v2 sustentan un paralelogramo, el vector de la
diagonal mayor es el Vector Suma y el vector de la diagonalmenor es el
Vector Diferencia.

1.4.2 Multiplicación por escalar
→

Sea α ∈ R y v = ( x, y, z ) un vector de R 3
entonces:
→

α v = (αx, αy, αz )
5

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1.4.2.1 Propiedades
→
→
→
→
⎤
⎡
⎛
⎞
1. ∀α ∈ R, ∀ v1 , v2 ∈ R ⎢α ⎜ v1 + v2 ⎟ = α v1 + α v2 ⎥
⎠
⎦
⎣ ⎝
→
→
→
→
3⎡
⎤
2. ∀α , β ∈ R, ∀ v ∈ R ⎢(α + β ) v = α v + β v ⎥
⎣
⎦
→
→
3⎡ ⎛
⎞ = (αβ ) →v ⎤
α
,
β
R
,
v
R
α
β
v
∀
∈
∀
∈...