Aplicacion De Transformada De Laplace En Electronica.Docx

TECNOLOGICO DE ESTADOS SUPERIORES DE CHALCO

ECUACIONES DIFERENCIALES

DR. AGUIRRE BULNES FRANCISCO

APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EN ELECTRÓNICA

INTEGRANTES:
ALARCON SANVICENTE ROLANDO
CABRERA GUERRERO EDGARDO
FRANCO ZAMUDIO RANDY
GUTIERREZ GONZALEZ JORGE ISAAC
RAMIREZ GUADARRAMA ANGEL JAIR
RESENOS BOTELLO DAMARIS

FECHA DE ENTREGA: 22/JUNIO/2012INTRODUCCIÓN:
La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil en electrónica ya que gracias a ella el comportamiento de sistemas electrónicos complejos puede describirse usando ecuaciones ordinarias en lugar de ecuaciones diferenciales. El ámbito de aplicación de esta transformada no queda reducido a los sistemas electrónicos. El comportamiento de cualquier sistema lineal, sea del tipoque sea, queda completamente descrito mediante las ecuaciones ordinarias obtenidas a través de la transformada de Laplace.
La transformación propiamente dicha es la siguiente:

X(s) = L(X (t)) =0∞x(t)℮-stdt (1)
Donde X(s) es la transformada de Laplace de x(t): Esta función se define para cualquier número complejo, s.
Obsérvese que para el caso particular s = jw,la transformada de Laplace coincide con la transformada de Fourier,
y por lo tanto la respuesta en frecuencia de un sistema lineal se obtiene de la transformada de Laplace de su función de transferencia sin más que sustituir s por jw.
A continuación se enumeran algunas de las propiedades más interesantes de la transformada de Laplace:
L (a · x(t)+b · y(t))= a ·X(s)+b·Y(s) (2)
L(·dx(t) dt ) = s ·X(s) (3)

L=xtdt=1sx(s) (4)

La primera propiedad nos indica que la transformada de Laplace es una transformación lineal. Las siguientes nos van a permitir tratar las ecuaciones diferenciales que rigen a los sistemas lineales como simples ecuaciones ordinarias en el dominio de latransformada de Laplace (plano complejo 's'). Para ello hacemos las siguientes sustituciones en las ecuaciones del sistema:
dx(t)dt→s·xs; d²x(t)dt²→s²·xs; xtdx→1s·x(s) (5)
y las ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo se convierten en ecuaciones ordinarias (cociente de polinomios de 's') en el dominio de la transformada de Laplace.

EJEMPLOS:

IMPEDANCIA DE UN CONDENSADOR.Sabemos que en un condensador el voltaje entre sus placas es proporcional a la carga almacenada e inversamente proporcional a la capacidad. Además podemos expresar la carga como la integral de la corriente que entra al condensador a lo largo del tiempo, de modo que obtenemos:
vt=q(t)c; vt=12i(t)dt (6)
Ahora aplicamos la transformada de Laplace según las reglas de (5) y obtenemos:
vs=1CsIs;Zc s= v(t)Is= 1Cs (7)
En el dominio de la transformada de Laplace la impedancia del condensador es 1/Cs.
Para ver como depende la impedancia del condensador con la frecuencia sustituimos s por jw en la ecuación 7 y obtenemos:

Z (w) =1Cjw

Que, como todos sabemos, es la impedancia de alterna del condensador.

FILTRO RC.

En la figura semuestra un filtro RC de primer orden. Vamos a analizar este circuito en busca de su función de transferencia, esto es: la ecuación que relaciona el voltaje de salida con el de la entrada. La tensión de salida, vo, es el voltaje del condensador, de modo que podemos escribir:

V0t= q(t)C= i(t)dtC= Vit-V0(t)dtRC

y aplicando la transformada de Laplace obtenemos:

Vos= Vis-Vo(s)RCs;Vos1+1RCs=Vi(s)RCs; Vo(s)Vi(s)=11+RCs (8)

Al mismo resultado llegamos si simplemente consideramos el circuito como un divisor de tensión y en su ecuación usamos la impedancia del condensador de la ecuación 7:
VoVi=Hs=ZcZR+ZC= 1CsR+1Cs=11+RCs

La respuesta en frecuencia del filtro se obtiene sustituyendo s por jw en su función de transferencia, H(s). El resultado es un valor complejo...