Aplicaciones De La Elipse

Matem´ticas II
a
TRIEDRO DE FRENET
Sea Γ ⊂ R3 una curva y sean γ : I = [a, b] → R3 , γ (t) = (x(t), y (t), z (t)) una
o
parametrizaci´n regular y α : I ′ = [a′ , b′ ] → R3 su parametrizaci´n respecto el
o
par´metro arco.
a
A partir de la primera y segunda derivada de la parametrizaci´n de la curva
o
se construye el triedro de Frenet. En cada punto regular de la curva γ (t), son
tresvectores unitarios y ortonormales, T (t), B (t) y N (t). Es decir, el triedro de
Frenet es un sistema de referencia ortonormal que nos proporcionan importante
informaci´n sobre la curva. Decimos que es un sistema de referencia m´vil,
o
o
porque se desplaza por la curva seg´n la recorremos.
u
B (t)
T

ˆ
T
 (t)ˆˆˆ (t)
z
γ
 
 
©

N (t)

A partir de los vectores del triedro deFrenet construiremos planos (el osculador,
el normal y el rectificante). Tambi´n introduciremos los conceptos de curvatura
e
y torsi´n, que nos dar´n informaci´n de c´mo se “dobla” y “retuerce” la curva
o
a
o
o
en el espacio.
A lo largo del tema veremos c´mo calcular los distintos elementos a partir de
o
la parametrizaci´n arco y a partir de una parametrizaci´n cualquiera.
o
o
VECTORTANGENTE. CURVATURA
Sea Γ ⊂ R3 una curva y sean γ : I = [a, b] → R3 , γ (t) = (x(t), y (t), z (t)) una
parametrizaci´n regular y α : I ′ = [a′ , b′ ] → R3 su parametrizaci´n respecto el
o
o
par´metro arco.
a
Tenemos que la recta tangente tiene por vector director a la derivada de una
parametrizaci´n y la parametrizaci´n arco tiene derivada de m´dulo 1. Es nao
o
o
tural que se denomine estevector, tangente unitario.

Universidad Antonio de Nebrija

1

Geometr´ diferencial de curvas
ıa

Matem´ticas II
a
Definici´n.- Definimos el vector tangente unitario a Γ en p = α(s) como
o
T (s) = α′ (s)
Nota.- Si tenemos una parametrizaci´n arbitraria γ de la curva Γ y p = γ (t).
o
Entonces γ ′ (t) tambi´n nos proporciona un vector tangente, entonces el vector
e
tangente unitarioen p es
γ ′ (t)
T (t) =
||γ ′ (t)||

Al ser el vector tangente unitario, su derivada nos permite conocer su variaci´n
o
a lo largo del tiempo s. Es decir, la derivada de T (s) mide el cambio de direcci´n
o
del vector tangente a lo largo de la curva. Nos permite medir la curvatura.
Definici´n.- Se llama curvatura de Γ en p = α(s) al escalar
o
k(s) =

dT
ds

= ||α′′ (s)||

Nota.-Teniendo en cuenta que T (t) =
dT
ds

=
=
=

dT
dt
dT
dt
dT
dt

·
·
·

dt
ds
1

γ ′ (t)
||γ ′ (t)||

y que k(s) =
′

(TFInversa, t−1 = s−1 =
ds
dt

ds
dt

dT
ds

, se tiene que

1
)
s′

= ||γ ′ (t)||

1
||γ ′ (t)||

Entonces la curvatura en el punto p es
k(t) =

1
dT
·′
dt ||γ (t)||

Cuanto m´s r´pido var´ la tangente m´s grande ser´ lacurvatura, entonces
aa
ıe
a
a
Si k = 0 entonces Γ es una recta.
Si k = 0 entonces Γ se curva y al valor ρ = 1/k se le denomina radio de
curvatura.

Universidad Antonio de Nebrija

2

Geometr´ diferencial de curvas
ıa

Matem´ticas II
a
Ejemplo.- Consideramos el arco de h´lice parametrizado por
e
γ (t) = (3 cos t, 3 sen t, 4t), con t ∈ [0, 2π ]. Vamos a calcular su vector tangentey su curvatura usando esta parametrizaci´n y usando la parametrizaci´n arco.
o
o
En primer lugar calcularemos los datos para parametrizaci´n γ (t).
o
La derivada de la parametrizaci´n es γ ′ (t) = (−3 sen t, 3 cos t, 4) y su m´dulo es
o
o
√
√
||γ ′ (t)|| = 9 sen2 t + 9 cos2 t + 16 = 9 + 16 = 5. As´ que el vector tangente
ı
es
γ ′ (t)
3
3
4
= − sen t, cos t,
T (t) =
, t ∈ [0, 2π]
′ (t)||
||γ
5
5
5
Calculamos la curvatura usando la parametrizaci´n γ . El m´dulo de la derivada
o
o
del vector tangente es
dT
dt

3
3
− cos t, − sen t, 0
5
5

=

9
3
=
25
5

=

Por lo tanto la curvatura es
k(t) =

dT
1
31
3
·′
= · = , t ∈ [0, 2π ]
dt ||γ (t)||
55
25

3
En la h´lice la curvatura es constante, es 25 . La curvatura no es nula (no es...