Axioma Del Supreo

Axioma del supremo
Se define axioma del supremo o axioma de completitud a uno de los axiomas que componen el cuerpo de los números reales. Su definición es la siguiente:
Si es un conjunto no vacío acotado superiormente en , entonces tiene supremo en .

Para ilustrar una de las aplicaciones del axioma del supremo, vamos a definir la parte entera de un real x > 0.
El significado de límitesuperior es conocido por todos, el cual es el máximo de los valores. Pero el concepto de supremo es un poco diferente del límite superior. También es conocido como extremo superior. En términos de teoría de conjuntos un supremo puede ser definido como un valor x de un conjunto de valores, tal que ningún otro valor del conjunto es mayor que x. También existe otro valor y positivo que puede ser muypequeño para el cual x - y es mayor que x.
Considere un conjunto A subconjunto de los números reales R. Entonces,
1. El Máximo de A será un valor que debe ser mayor que todos los valores en el conjunto A.

2. El Mínimo de A será un valor que debe ser menor que todos los valores en el conjunto A.

En términos de funciones un supremo puede ser definido como un valor de x en el dominio de lafunción dada tal que f(y) x para todos los valores en el dominio de la función dada.
También existirá otro valor positivo a, que puede ser muy pequeño para el cual (x - a) es menor que f(x).
La teoría axiomática de conjuntos establece que para un determinado conjunto de números reales que es no vacío, siempre existe un supremo / extremo superior que puede no ser algún número real, dado que elconjunto de números reales está acotado superiormente.
Esta teoría también se aplica a los números complejos.
El supremo de un conjunto A también es llamado sup A.
Otra formulación de la teoría axiomática de conjuntos es que la convergencia de una serie de números reales es otro número real.
Un dato muy interesante acerca del supremo es que no existe supremo para un conjunto de númerosracionales en particular.
Vamos a echar un vistazo a la prueba del teorema dado,
Suponga que la serie Xn es convergente a X. Ahora sea un conjunto Y = {Xn: Xn N.
Entonces,

Existe otra serie de teoremas correspondientes con el Teorema del Extremo Superior tal como el expresado debajo, Todas las series de números reales que no son de origen decreciente, tienden a algún límite, es decir, siempreestán acotadas superiormente. Todo conjunto no vacío y acotado superiormente
posee un supremo.




Transitividad
La transitividad es una de las propiedades más necesarias de los números reales.
En general, la propiedad de la transitividad tiene su aplicación en dos categorías: La Transitividad de la igualdad y la Transitividad de la desigualdad.
De acuerdo con la transitividad de la igualdad,si dos números son equivalentes al mismo número, entonces todos los números son equivalentes entre sí. Es decir, si a = b y b = c entonces a = c.
La Transitividad de la desigualdad trata con cuatro subpartes correspondientes a; mayor que, menor que, mayor o igual que y menor o igual que las desigualdades.
Si a, b, c son tres números reales y
1). Si a c, entonces a > c.
4). Si a ≥ b y b ≥ c,entonces b ≥ c.
En general, los primeras dos subpartes pueden afirmar que si un número es menor que o igual a un 2do numero, y el 2do es más pequeño o igual que un 3er entero, entonces el 1er número es menor o igual que el tercero.
Pueden existir casos, cuando el desarrollo de argumentos por medio de las leyes de la transitividad pueden resultar erróneos. Tales interpretaciones pueden serconsideradas como la aplicación destartalada de la propiedad de la transitividad. Un ejemplo de tales argumentos es el caso cuando en un partido de cricket, el Equipo x vence al Equipo y, y en el encuentro siguiente el Equipo y vence al Equipo z. Por tanto, de acuerdo con la propiedad de la Transitividad, el equipo x le ganará el equipo z. Sin embargo, esto no es obligatorio fuera del ámbito de la...