axioma

Supondremos la existencia de un conjunto R cuyos elementos llamaremos números reales. Además se definen en R las operaciones binarias de suma y multiplicación, las cuales cumplen los siguientes axiomas:



Clausura o Cerradura:
(∀x,y∈R)(x+y∈R)
(∀x,y∈R)(x∙y∈R)

Conmutatividad:
(∀x,y∈R)(x+y=y+x)
(∀x,y∈R)(x∙y=y∙x)

Asociatividad:
(∀x,y,z∈R)((x+y)+z=x+(y+z))
(∀x,y,z∈R)((x∙y)∙z=x∙(y∙z))Existencia de elementos neutros.
(∃e∈R)(∀x∈R)(x+e=x)
(∃e∈R)(∀x∈R)(x∙e=x)

Existencia de elementos inversos.
(∀x∈R)(∃x ̃∈R)(x+x ̃=0)
(∀x∈R-{0})(∃x^*∈R)(x∙x^*=1)


Distributividad
(∀x,y,z∈R)(x∙(y+z)=x∙y+x∙z)



Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

Hay dos números reales distintos x e y tal que x+y=x∧y+x=y

Para cualquier par de números x,y∈R setiene que x+y=y+x

Para cualquier par de números x,y∈R se tiene que x+y=x

Para cualquier par de números x,y∈R se tiene que x⋅y=y∙x

(∀x,y,z∈R)((x+y)+z=(x+z)+(y+z))

En una serie de sumas de números reales, el orden en que éstas se realizan es muy importante.

(∀x,y,z∈R)((x+y)+z=x+(y+z))

(∀x,y,z∈R)((x-y)∙z=x∙(-z)+y∙(-z))

(∀x,y,z∈R)((x+y)∙z=y∙z+x∙z)(∀x,y,z∈R)((x+y)∙z=(x+z)∙(y+z))

Existe un número real que sumado a cualquier otro da como resultado este último.

Dado a∈R-{0} la ecuación a-x=a no tiene solución en R

Si un número x∈Res neutro para la suma, entonces su opuesto aditivo también lo es.

El elemento neutro en los reales para la suma es único. Se le anota 0.

Si un número x∈R es neutro para la suma, entonces su inverso multiplicativo también loes.

Existe un número real, distinto de 0, que, multiplicado con cualquier otro, da como resultado este último.

Si un número real es neutro para la multiplicación, entonces su inverso aditivo también lo es.

Si un número real es neutro para la multiplicación, entonces su inverso multiplicativo también lo es.

Dado a∈R la ecuación a∙x=a siempre tiene solución en R.

El elementoneutro en los reales para la multiplicación es único. Se le denota 1.

Dado un número cualquiera x∈R existe otro que al sumarlo con él resulta 0.

Dado x∈R la ecuación x+y=0 tiene más de una solución y∈R

El inverso aditivo de cualquier real x es único. Se denota por –x.

Existe un número x∈R que es inverso aditivo de más de un número real.

Existen x_1,x_2,x_3∈R todos distintos entresí, tales que x_1 es el inverso aditivo de x_2 y x_2 es el inverso aditivo de x_3.

Dado un número real cualquierax con x≠0 existe otro que al multiplicarlo por x resulta 1.
Existe un número x∈R que es inverso multiplicativo de más de un número real.

El inverso multiplicativo de cualquier número real x≠0 es único. Se denota x^(-1)

Dado x∈R la ecuación x∙y=1siempre tiene una solucióny∈R

No existe un número x∈R tal que x∙x=x+x=0

Existe un número real que multiplicado por cualquier otro resulta en él mismo.

El 0 no posee inverso aditivo.

El 0 posee un inverso multiplicativo, pero no es único.

El 0 no posee inverso multiplicativo.

El 1 posee inverso multiplicativo.

Existen x_1,x_2,x_3∈R todos distintos entre sí, tales que x_1 es el inverso multiplicativode x_2 y x_2es el inverso multiplicativo de x_3.

Dados a,b∈R la ecuación a+x=b tiene una única solución en R.

Dados a,b∈R;a≠0 la ecuación a∙x=b tiene una única solución en R.

Dados a,b∈R la ecuación a∙x=b puede tener más de una solución en R.

Si a,b,c∈R son tales que a+b=a+c entonces necesariamente b=c

Si a,b,c∈R son tales que a∙b=a∙c entonces necesariamente b=c

Dadosa,b∈R cona≠0 se tiene que 0 es siempre solución de la ecuacióna∙x+b=0.

Dados a,b∈R con a≠0 la solución de la ecuación a∙x+b=0 es x=(-b)/a
Si x,y∈R son tales que x+y=0 entonces necesariamente x=0 ∨y=0.

Si x,y∈R son tales que x∙y=0 entonces necesariamente x=0 ∨y=0.

Si x,y∈R son tales que x+y=1 entonces necesariamente x=0 ∨y=0.

Demuestre las siguientes propiedades de los...