Axiomas

LOS NUMEROS REALES COMO CUERPO ORDENADO Y COMPLETO Nos preocuparemos de estudiar en ésta unidad el conjunto ℜ de los números reales desde el punto de vista de las estructuras algebraicas que podemos obtener a partir de él y no de la construcción de los elementos del conjunto.

I .- AXIOMAS DE CUERPO Se refieren a las operaciones de ADICION (+) y MULTIPLICACIÓN ( • ) que son leyes de composicióninterna para ℜ , lo que hace innecesario hablar de “Clausura” ó “Cierre”. C1: C2: C3: C4: C5: C6: C7: C8: C9: ∀ a, b, c ∈ ℜ : (a + b) + c = a + (b + c) Asociatividad de la adición ∀ a, b ∈ ℜ : a + b = b + a Conmutatividad de la adición ∀ a∈ ℜ ∃ 0 ∈ ℜ ∋ a + 0 = a Elemento neutro aditivo ∀ a∈ ℜ ∃ -a ∈ ℜ ∋ a + - a = 0 Elemento opuesto ∀ a, b, c ∈ ℜ : (a • b) • c = a • (b • c) Asociatividad de lamultiplicación ∀ a, b ∈ ℜ: a • b = b • a Conmutatividad de la multiplicación ∀ a∈ ℜ ∃! 1 ∈ ℜ ∋ a * 1 = a Elemento neutro multiplicativo ∀ a∈ ℜ , a ≠ 0, ∃ a-1 ∈ ℜ ∋ a • a-1 = 1 Elemento inverso ∀ a, b, c ∈ ℜ : a • (b + c) = a • b + a • c Distributividad de la “•” frente a la “+”

Estos axiomas determinan que (ℜ, +, • ) sea un CUERPO y además con unidad.

II.- PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS REALESEn las demostraciones de estas propiedades el lector deberá identificar los axiomas, propiedades que fundamentan cada paso. 1.- El neutro aditivo es único: ∃! 0 ∈ℜ 2.- El opuesto de un elemento es único: ∀ a∈ ℜ ∃! -a ∈ ℜ 3.- Ley Cancelativa: a+ x = a + b ⇒ x = b 4.- Ley Involutiva: - (- a) = a 5.- Opuesto de un binomio: - (a + b) = -a + -b 6.- La ecuación x + a = b tienen siempre una única soluciónde ℜ . 7.- El neutro multiplicativo es único: ∃ ! 1∈ ℜ . 8.- El inverso de todo elemento distinto de cero es único: ∀ a ∈ ℜ ∧ a ≠ 0 ; ∃ ! a -1 9.- Ley cancelativa: ∀ a ∈ ℜ ∧ a ≠ 0 : a ⋅ x = a ⋅ b ⇒ x = b

Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación - Universidad de Santiago de Chile Profesora Sra. Danitza Jara Seguel

10.- Ley involutiva:

∀ a ∈ ℜ , a ≠ 0:

(a )
−1

-1 −1= a

11.- ∀ a , b ∈ ℜ , a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 : (a ⋅ b )

= a -1 ⋅ b -1

12.- ∀ a ∈ ℜ , a ≠ 0 , la ecuación x ⋅ a = b tiene una única solución en ℜ . 13.- ∀ a ∈ ℜ : 0 ⋅ a = 0 14.- ∀ a , b ∈ ℜ : (- a ) ⋅ (- b ) = a ⋅ b 15.- ∀ a , b : a ⋅ (- b ) = - (a b ) 16.- ∀ a , b : (- a ) ⋅ b = - (a ⋅ b )

III.- AXIOMAS DE ORDEN Si en ℜ , ∃ ℜ + ⊂ ℜ que cumple con los siguientes axiomas: O1: ∀ x , y ∈ ℜ + ⇒ x+ y ∈ ℜ + ∧ x ⋅ y ∈ ℜ + O2: ∀ x ∈ ℜ ⇒ x ∈ ℜ + ∨ x = o ∨ x ∈ ℜ + Entonces ℜ es ordenado NOTA: a) el axioma 01 dice que la adición y la multiplicación son leyes de composición internas. b) El axioma 02 se conoce como “LEY TRICOTOMICA” ó “TRICOTOMÍA” de los números reales. Los elementos de ℜ + se llaman “POSITIVOS” y los elementos de ℜ , distintos de cero, que no están en ℜ + , se llaman“NEGATIVOS”, y el conjunto que ellos forman lo denotaremos por ℜ − , así:

ℜ− = x ∈ ℜ ∋ − x ∈ ℜ+
De esta manera obtenemos una nueva expresión para ℜ :

{

}

ℜ = ℜ + ∪ {o} ∪ ℜ -

Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación - Universidad de Santiago de Chile Profesora Sra. Danitza Jara Seguel

TEOREMA 1:

ℜ+ ≠ φ

DEM: La demostración la haremos probando que 1 ∈ ℜ + , con ello habremosdemostrado que ℜ + ≠ φ . Además, aprovechando 01, podemos generar infinitos elementos que tendrán que estar forzosamente en ℜ + Supongamos que 1 ∉ ℜ + ⇒ - 1 ∈ ℜ + ⇒ (- 1) ⋅ (- 1) ∈ ℜ + ⇒ 1∈ ℜ + ⇒ ⇒ Entonces: 1 ∈ ℜ ⇒ ℜ ≠ φ
+ +

⇐

NOTA: Si se han generado infinitos elementos para ℜ + , el opuesto de cada uno de ellos deberá pertenecer a ℜ − , por lo tanto ℜ − tiene también infinitoselementos. Definición 1: Sea a, b ∈ ℜ , diremos que “a ES MENOR QUE b”, y escribiremos a < b, si y sólo si b – a ∈ ℜ + Es decir: a p b ⇔ b - a ∈ ℜ+ Definición 2: Sean a, b ∈ ℜ , entonces: a ≤ b ⇔ a p b ∨ a = b
NOTA:

(a = b

⇔ b - a = o)

Definición 3: a ≤ b ⇔ b ≥ a NOTA: Se puede definir la relación “IGUAL QUE”, de la siguiente manera: a = b ⇔ b - a = o, definición que constituye una relación...