calculo numerico

Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos
Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa
Universidad Politécnica de Cataluña
Abril 2009, versión 1.5

Contenido
1. Método de la bisección.
2. Método de Newton-Raphson.
3. Orden de convergencia: convergencia cuadrática.
4. Método de punto fijo.

1

Método de la bisección1.1

Teorema de Bolzano

Teorema 1.1 (Bolzano)
f (x) continua en [a, b],
f (a) · f (b) < 0.

¾

=⇒ Existe un α ∈ (a, b) tal que f (α) = 0.

Ejemplo 1.1 Demuestra que la ecuación
cos x = x
tiene solución única en (0, π /2).

1

Francisco Palacios

Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 2

Ponemos la ecuación en la forma
cos(x) − x = 0.
La función
f (x) = cos(x) −x
es continua en todo R, en particular, es continua en [0, π /2]. En los extremos
del intervalo, toma valores
f (0) = 1,

f (π /2) = −π /2,

que son de signo opuesto, por lo tanto, existe un α ∈ (0, π /2) tal que
f (α) = cos(α) − α = 0.
Veamos la unicidad. Calculamos la derivada
f 0 (x) = − sin(x) − 1.
Como f 0 (x) < 0 en todo el intervalo (0, π /2), resulta que f (x) es decreciente
ysólo puede tomar el valor 0 una vez, por lo tanto, la solución es única. ¤

1.2

Descripción del método

• Objetivo Aproximar la solución de f (x) = 0.
• Inicio f (x) que cumple las condiciones del teorema de Bolzano en
[a, b].
• Método
1. Se calcula el punto medio del intervalo
c=

a+b
.
2

2. Calculamos f (c).
— Si f (c) = 0, la solución es α = c.
— si f (c) 6= 0, comparamoscon f (a) y f (b). El nuevo intervalo tiene
un extremo en c, el otro extremo se elige entre a y b de forma que
f (x) tome signos distintos en los extremos.
Ejemplo 1.2 Primeras iteraciones del método de la bisección para
cos(x) − x = 0
en el intervalo [0, π /2].

Francisco Palacios

Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 3

1. En el ejemplo anterior, hemos visto que f (x) = cos(x)− x cumple las
condiciones del Teorema de Bolzano.
2. Cálculo de las aproximaciones.
• Fase 1. El cuadro inicial es
a1 = 0
c1 =
b1 = 1. 57080

Fase 1
f (a1 ) = 1
f (c1 ) =
f (b1 ) = −1. 57080

⊕
ª

calculamos
c1 =

a1 + b1
= 0.78540,
2

f (c1 ) = f (0.78540) = −7. 8295 × 10−2 ,

y completamos la tabla
a1 = 0
c1 = 0.78540
b1 = 1. 57080

Fase 1
f (a1 ) = 1
f (c1 ) =−7. 8295 × 10−2
f (b1 ) = −1. 57080

⊕
ª
ª

a2 = 0
b2 = 0.78540

• Fase 2. La tabla inicial para la fase 2 es
a2 = 0
c2 =
b2 = 0.78540

Fase 2
f (a2 ) = 1
f (c2 ) =
f (b2 ) = −7. 8295 × 10−2

⊕
ª

calculamos
c2 =

a2 + b2
= 0.3927,
2

a2 = 0
c2 = 0.39270
b2 = 0.78540

f (c2 ) = f (0.3927) = 0. 53118.

Fase 2
f (a2 ) = 1
f (c2 ) = 0. 53118
f (b2 ) = −7. 8295 ×10−2

⊕
⊕
ª

a3 = 0.39270
b3 = 0.78540

Fase 3
f (a3 ) = 0. 53118
f (c3 ) = 0. 24242
f (b3 ) = −7. 8295 × 10−2

⊕
⊕
ª

a4 = 0. 58905
b4 = 0.78540

• Fase 3.
a3 = 0.39270
c3 = 0. 58905
b3 = 0.78540

Francisco Palacios
• Fase 4.
a4 = 0. 58905
c4 = 0. 68723
b4 = 0. 78540

Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 4

Fase 4
f (a4 ) = 0. 24242
f (c4 ) = 8. 5776 ×10−2
f (b4 ) = −7. 8295 × 10−2

⊕
⊕
ª

a5 = 0. 68723
b5 = 0. 78540

Fase 5
f (a5 ) = 8. 5776 × 10−2
f (c5 ) = 4. 6249 × 10−3
f (b5 ) = −7. 8295 × 10−2

⊕
⊕
ª

a6 = 0. 73632
b6 = 0. 78540

• Fase 5
a5 = 0. 68723
c5 = 0. 73632
b5 = 0. 78540

En las siguientes fases, obtenemos
c6 = 0.76085,
c7 = 0.74858,
c8 = 0.74247,
c9 = 0.73938,
c10 = 0.73784.
El valor exacto de lasolución con 5 decimales es α = 0.73909, por lo
tanto, en la fase 10 el error es
|e10 | = |α − c10 | = 0.00 125,

tenemos, por lo tanto, 2 decimales exactos. ¤

1.3

Cota superior de error

Proposición 1.1 En la fase n, el error del método de la bisección cumple
|en | = |α − cn | ≤

b1 − a1
.
2n

Demostración. En la fase n se cumple
|en | = |α − cn | ≤

bn − an
.
2...