Capitulo 12 Aplicaciones Linales

Aplicaciones Lineales

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

Definición : Aplicación Lineal.
Sean V y W dos K-espacios vectoriales. Una función T : V −→ W se
dice Aplicación Lineal si satisface las condiciones:

520142
Segundo Semestre

T (u + v) = T (u) + T (v) ∀u, v ∈ V .
T (λ · u) = λ · T (u) ∀u ∈ V, ∀λ ∈ K.
Proposición

(Caracterización de una Aplicación Lineal)

La función T : V → W es una aplicaciónlineal si y sólo si

CAPITULO XII
APLICACIONES LINEALES

T (α · u + v) = α · T (u) + T (v) ∀u, v ∈ V , ∀α ∈ K.
Observación:

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

Si V = W , entonces la aplicación se llama Operador Lineal o
Endomorfismo.

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Concepción
1

Aplicaciones Lineales
Ejemplos.

Para los espacios V y W dados, las funciones T : V → Wdadas en los siguientes ejemplos son aplicaciones lineales:

2

Aplicaciones Lineales
Ejemplos... cont.
T : C[0, 1] → R dada por:
1

V = W = R2 :

f −→ T (f ) =

(x, y) −→ T (x, y) = (−3x + 2y, −x + 3y) .
V y W dos espacios vectoriales cualquiera:
v −→ T (v) = θW .
V un espacio vectorial cualquiera y W = V , entonces:
v −→ T (v) = v .
V = R3 , W = R2 , y
(x, y, z) −→ T (x, y, z) = (2x − y + z, x −z) .

f (x)dx .
0

T : C[0, 1] → C[0, 1] dada por
x

f −→ (T (f ))(x) =

f (t)dt .
0

Sea V = {f ∈ C[0, 1] : f ′ ∈ C[0, 1]}. T : V → C[0, 1] dado por
f −→ (T (f ))(x) = f ′ (x) .
Sea u ∈ Rn fijo. Se define T : Mn (R) → Rn por
A → T (A) = Au .

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales

Ejemplos... cont.

Propiedades.

Sea V un espacio vectorial con producto interior · , · , y sea w ∈ V
fijo.La función T : V → V dada por

Si T y L son aplicaciones lineales de V en W y λ ∈ K, entonces:
T (θV ) = θW .

v −→ T (v) = v, w w ,

T (−u) = −T (u),
es una aplicación lineal de V en V .

∀u ∈ V .

λT + L es una aplicación lineal.

Sea V un espacio vectorial con producto interior y sea M un
subespacio de V . Entonces la aplicación T : V → M dada por

Definición :

v −→ T (v) = vM ,

Lema.

L(V, W) := {T : V → W : T es lineal } .

L(V, W ) es un subespacio vectorial del espacio de todas las

funciones de V en W .

donde vM es la mejor aproximación de v por elementos de M (ver
capítulo anterior!) es un operador lineal de V en V , llamado
Proyección ortogonal de V sobre M .
5

Aplicaciones Lineales

6

Aplicaciones Lineales
Ejemplo.

Teorema.
Si {v1 , v2 , ..., vn } es una base del espaciovectorial V y {w1 , w2 , ..., wn }
son vectores del espacio vectorial W , entonces existe una única
aplicación lineal T : V −→ W tal que T (vi ) = wi , i = 1, 2, ..., n.

Determine la única transformación lineal T : R2 → R3 tal que
T (1, 1) = (3, 1, −1) y T (1, 2) = (2, 3, 1).
Como para todo (x, y) ∈ R2 , (x, y) = (2x − y)(1, 1) + (y − x)(1, 2),
resulta que:
T (x, y) = T ((2x − y)(1, 1) + (y −x)(1, 2))

Observación.

= (2x − y) T (1, 1) + (y − x) T (1, 2)
= (2x − y) (3, 1, −1) + (y − x) (2, 3, 1)

El teorema anterior nos dice que una aplicación lineal está
completamente determinada por su valor en los elementos de una
base.

= (4x − y, −x + 2y, −3x + 2y) .
Corolario.
Si T y L son aplicaciones lineales de V en W que coinciden en una base
de V , entonces T = L.

Aplicaciones LinealesAplicaciones Lineales

Definición : Núcleo e Imagen de una aplicación lineal.

Ejemplo.
Determine una transformación lineal T : R3 → R2 de modo que el
Ker(T ) sea el plano 3x − y + 2z = 0.
Se puede ver que el plano tiene por base a {(1, 3, 0), (0, 2, 1)}.
Como {(1, 3, 0), (0, 2, 1), (1, 0, 0)} es base de R3 , basta definir T por:
T (1, 3, 0) = T (0, 2, 1) = (0, 0) y en forma arbitraria T (1, 0, 0) =(1, 3),
de donde
1
2
1
2
T (x, y, z) = T ( y − z)(1, 3, 0) + z(0, 2, 1) + (x − y + z)(1, 0, 0)
3
3
3
3
2
1
= (x − y + z , 3x − y + 2z)
3
3

Sean V y W dos K-espacios vectoriales, T : V −→ W una aplicación
lineal. Se definen el Núcleo y la Imagen de T como los conjuntos:
Ker(T ) := {u ∈ V : T (u) = θW } ⊆ V .
Im(T ) := {T (u) : u ∈ V } ⊆ W .
Teorema.
Sean V y W espacios vectoriales sobre K y T : V...