Criterio De Cauchy

Serie matemática
En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como [pic] donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, [pic].

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si [pic] no existe o si tiende ainfinito; puede converger si [pic] para algún [pic].


|Contenido |
| [ocultar] |
|1 Algunos tipos de series |
|2 Sumas conocidas|
|3 Criterios de convergencia |
|3.1 Condición del resto |
|3.2 Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón) ||3.3 Criterio de Cauchy (raíz enésima) |
|3.4 Criterio de Raabe |
|3.5 Criterio de la integral de Cauchy |
|3.6 Criterio de condensación de Cauchy|
|3.7 Criterio de Leibniz |
|4 Criterios de convergencia comparativos |
|4.1 Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss ) |
|4.2 Criterio de comparación por paso al límite del cociente|
|5 Tipos de convergencia |
|5.1 Convergencia absoluta |
|6 Véase también |
|7 Enlaces externos|


[editar]Algunos tipos de series

▪ Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):
[pic]
En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:
[pic]
La serie armónica es la serie[pic]
La serie armónica es divergente.
Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:
[pic]
Una serie telescópica es la suma [pic], donde an = bn − bn+1. Se representa de la siguiente manera:
[pic]
La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:
[pic]
Una serie hipergeométrica1 es una serie de la forma [pic],que cumple que [pic] = [pic].

Sumas conocidas

Fórmula de Faulhaber
[pic]
[pic]
[pic]

Criterios de convergencia

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ([pic] u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).


Condición del restoTest de divergencia
Para que una serie [pic] sea divergente, una condición suficiente es que [pic].
Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.


]Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

Criterio de d'Alembert
Sea una serie [pic], tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si...