Diagrama De Hasse

Diagrama de Hasse
es una representación de un conjunto parcialmente ordenado finito. La representación se hace mediante un grafo, o sea un diagrama que consta de nodos y aristas.
Supongamos que tenemos una relación R en A que es relación de orden. Primeramente sabemos que es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Formamos el grafo con los elementos de A, estos son los nodos, y las aristas sonconexiones entre nodos relacionados, en este caso es un grafo dirigido. La primera condición es que si dos elementos están relacionados, digamos (a,b) ∈ R entonces dibujamos b a un nivel superior de a.
Un diagrama de Hasse elimina la necesidad de representar lazos, puesto que se tiene que la relación parcialmente ordenada es reflexiva.
Puesto que la transitividad también está implicada, se puedeprescindir de mostrar líneas entre elementos que tengan un elemento intermedio relacionado, pues se sobrentienden.
Con estos diagramas las relaciones de orden son muy fácil de representar y sobretodo de entender.
Por ejemplo, sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} (todos los divisores de 60). Este conjunto está ordenado parcialmente por la relación de divisibilidad. Sudiagrama de Hasse puede ser representado como sigue:
[pic]

Ejemplo 1:
Sean B=A={1,2,4,7,8} y sea R:A(B tal que aRb si a≥b.
a) ¿Cuáles son los elementos de R?.
b) Encontrar MR y GR.
c) Mostrar que se trata de una relación parcial, probando que R es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
d) Si R es de orden parcial encontrar el diagrama de Hasse.
Solución
a) Los elementos de Rson:
R={(1,1),(2,1),(2,2),(4,1),(4,2),(4,4),(7,1),(7,2),(7,4),(7,7),(8,1),(8,2),(8,4),(8,7),(8,8)}
b) El grafo y la matriz de R son:
a) Se observa que es reflexiva, porque la diagonal principal de la matriz contiene solamente unos, lo cual significa que todo elemento está relacionado son él mismo. Es antisimétrica ya que se cumple que para a≠b si (a,b)(R, entonces (b,a)[pic]R. También estransitiva ya que MR= MR +MR2. Por lo tanto se trata de una relación de orden parcial.
El diagrama de Hasse es:
Recordar que eliminar la tercera arista de la transitividad significa que en aquellos casos en donde aRb y bRc se debe eliminar aRc. Por ejemplo el ejemplo anterior 8R2 y 2R1 se eliminó 8R1 que es la tercera arista de la transitividad y de esa misma manera se procede en todos los casosdonde aplique.
De este ejemplo se puede concluir que para A=B=Z, la relación R:A(B es de orden parcial si a≥b o a≤b pero no es una relación parcialmente ordenada si ab porque ya no sería reflexiva.
La relación parcialmente ordenada también es aplicable a conjuntos, en donde el orden se da por medio del concepto de subconjunto ([pic]).

Ejemplo 2
Sea X= {a,b,c} y sea A = B = P(X) = {(, {a}, {b},{c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}. La relación R:A(B es de orden parcial para la operación subconjunto ([pic]).
R = {((,(), ((,{a}), ((,{b}), ((,{c}), ((,{a,b}), ((,{a,c}), ((,{b,c}), ((,{a,b,c}), ({a},{a}), ({a},{a,b}), ({a},{a,c}), ({a},{a,b,c}), ({b},{b}), ({b},{a,b}), ({b},{b,c}), ({b},{a,b,c}), ({c},{c}), ({c},{a,c}), ({c},{b,c}), ({c},{a,b,c}), ({a,b},{a,b}), ({a,b},{a,b,c}),({a,c},{a,c}), ({a,c},{a,b,c}), ({b,c},{b,c}), ({b,c},{a,b,c}), ({a,b,c},{a,b,c})}
En esta relación el par ordenado ((,() se encuentra dentro de la relación R porque ([pic](, de la misma manera que ({a,b},{a,b,c}) es también par ordenado de R porque {a,b}[pic]{a,b,c}.
El diagrama de Hasse quitando los lazos y eliminando la tercera arista de la transitividad en aquellos casos en donde proceda, quedará de lasiguiente manera:
Como se pudo observar en los ejemplos anteriores los diagramas de Hasse son representaciones gráficas de un conjunto finito parcialmente ordenado. Los diagramas de Hasse eliminan la necesidad de lazos ya que por definición las relaciones de orden parcial son reflexivas, de la misma manera que es posible eliminar las terceras aristas de la transitividad considerando que el...