Ecuaciones Diferenciales

Series de potencias
Una serie de potencias en x − a es una serie infinita de la forma b0 + b1 (x − a) + b2 (x − a)2 + · · · = Esta serie tambi´n se llama serie de potencias centrada en a. e
n=0

∑ bn (x − a)n .

∞

Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

Suma parcial SN (x) = b0 + b1 (x − a) + b2 (x − a)2 + · · · + bN (x − a)N =

n=0

∑ bn (x − a)n .

N

ETSIT-curso2010/2011

Convergencia La serie
n=0

ımite ∑ bn (x − a)n converge en x = x0 si existe el l´
N→∞

∞

l´ SN (x0 ). ım

Intervalo de Convergencia El intervalo de convergencia de una serie de potencias es el conjunto de los n´meros reales x para los cuales converge la serie. u
Tema 6.- Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 1 Tema 6.- Ecuaciones diferenciales lineales deorden superior 2

Series de potencias
Radio de convergencia (R) Una serie de potencias
n=0

Soluciones en serie de ecuaciones lineales
Funci´n anal´ o ıtica Una funci´n es anal´ o ıtica en el punto x = a si se puede expresar como una serie de potencias
n=0

∑ bn (x − a)n converge para |x − a| < R y diverge para

∞

|x − a| > R, donde R es el radio de convergencia. El radio viene dadopor bn+1 1 = l´ ım . n→∞ bn R Una serie de potencias define una funci´n o f (x) =

∑ bn (x − a)n

∞

cuyo dominio es el intervalo de convergencia. Teorema Si entonces si x ∈]a − R, a + R[ y
a x

n=0

∑ bn (x − a)n

∞

con R > 0. Puntos ordinarios y singulares Dada una ecuaci´n de segundo orden lineal de la forma o y + P(x)y + Q(x)y = 0 (1)

f (x) = f (x) =

n=1

∑ nbn (x − a)n−1n=0

∞

n=0

∑ bn (x − a)n
∞

∞

f (t) d t =

∑ n + 1 (x − a)n+1
Tema 6.- Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 3

bn

o se dice que x0 es un punto ordinario de la ecuaci´n diferencial (1) si tanto P(x) como Q(x) son anal´ ıticas en x0 . Se dice que un punto es punto singular de la ecuaci´n si no es ordinario . o
Tema 6.- Ecuaciones diferenciales lineales de ordensuperior 4

Soluciones en serie de ecuaciones lineales
Existencia de soluciones con serie de potencias Si x = x0 es un punto ordinario de la ecuaci´n diferencial lineal de segundo o orden homog´nea (forma est´ndar) e a y + P(x)y + Q(x)y = 0, siempre se pueden determinar dos soluciones linealmente independientes en forma de una serie de potencias centrada en x0 y=

Ecuaci´n de Legendre o
Laecuaci´n de Legendre o dy dy + λ (λ + 1)y = 0 (2) − 2x dx2 dx aparece en muchos problemas f´ ısicos (ecuaci´n de Laplace en coordenadas esf´ricas). o e Escrita en la forma est´ndar queda de la forma a (1 − x 2 ) dy 2x d y λ (λ + 1) + − y = 0. 2 dx 1 − x2 dx 1 − x2 Se pueden buscar soluciones de la forma y=
∞

n=0

∑ bn (x − x0 )

∞

n

.
∞

n=0

∑ bn x n ,

−1 < x < 1.Sustituyendo en (2) y despu´s de algunas manipulaciones se llega a e

Una soluci´n en serie converge al menos en un intervalo definido por o a |x − x0 | < R, donde R es la distancia de x0 al punto singular m´s cercano.

n=2

∑ [(n + 2)(n + 1)bn+2 −(n(n − 1) + 2n − α) bn )] x n +2b2 +αb0 +(6b3 −2b1 +αb1 )x =0
Tema 6.- Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 6

con α = λ (λ + 1).
Tema6.- Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 5

Ecuaci´n de Legendre o
Igualando los coeficientes de igual potencia a cero se llega a α b2 = − b0 , 2 2−α b3 = b1 , 6 n2 + n − α bn+2 = n = 2, 3, 4, . . . bn , (n + 2)(n + 1) o Hay dos coeficientes arbitrarios, b0 y b1 y la soluci´n es y (x) = b0 y1 (x) + b1 y2 (x) donde y1 (x) = 1 − y2 (x) = x − λ (λ + 1) 2 (λ − 2)λ (λ + 1)(λ + 3) 4 x +x +··· 2! 4!

Ecuaci´n de Legendre o
Si λ es un entero positivo una de las soluciones es un polinomio de grado n y la otra una serie infinita. Si se elige b0 = 1 y b1 = 1 los polinomios que se obtienen son los polinomios de Legendre, P0 (x) = 1 P3 (x) = 1 (5x 3 − 3x) 2 P1 (x) = x P4 (x) = 1 (35x 4 − 30x 2 + 3) 8 P2 (x) = 1 (3x 2 − 1) 2 P5 (x) = 1 (63x 5 − 70x 2 + 15x), 8

que se pueden...