ecuaciones diferenciales

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N2

5.1. Introducción
Una ecuación diferencial de segundo orden es una expresión matemática en la que se relaciona una función
con sus derivadas primera y segunda. Es decir, una expresión del tipo

(

)
(

La ecuación anterior se dice escrita en forma normal cuando tenemos:

)

5.2. Reducción de orden
Este método consiste en reducir el problema deresolver una ecuación diferencial de segundo orden a
un problema de resolver una o más ecuaciones diferenciales de primer orden. Casos a considerar

5.2.1. Ecuaciones que no contienen la variable y. Sea la ecuación

se deduce

(

)=0. Haciendo

,

. Por tanto la ecuación diferencial dada se transforma en la ecuación diferencial de

primer orden

f x,p, p'  0

Resolviendo esta ecuación se obtienep, de donde finalmente, se tiene

y   px dx  y  Φx,C1 ,C 2 
5.2.2. Ecuaciones que no contiene la variable x. Sea la ecuación (

se tiene

y 

d y dp dy
dp

p
dx dy dx
dy

La ecuación dada se transforma en


dp 
f  y ,p, p   0
dy 

Resolviendo esta ecuación se obtiene p, de donde posteriormente se obtiene

1

)=0. Haciendo

,

y  Φx,C1 ,C 2 

5.3. Ecuaciones diferencialeslineales de segundo orden

La ecuación lineal general de segundo orden puede escribirse en la forma estándar

yPx yQx y  Rx 
En la cual P(x) , Q(x) , R(x) son funciones conocidas

Teorema 1.De existencia y unicidad para el problema del valor inicial Sean P, Q, R funciones

continuas en un intervalo I y sea x 0  I . Sean y 0 , y 0 dos números reales cualesquiera. El problema delvalor inicial

y Px yQx y R x  , yx 0   y 0 , yx 0   y 0
tiene solución única definida en I

5.4. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden

La ecuación lineal general de segundo orden

yPx yQx y  Rx 

es homogénea , si R(x) = 0 ,

xI

y Px y Qx y  0

Teorema 2. Sean

y1 , y 2 soluciones de la ecuación lineal homogénea en un intervalo I.Entonces se

verifica

1.

y1  y 2 es una solución en I

2. Para cualquier constante c,

c y1 es una solución en I

2

Las relaciones (1) y (2) se pueden combinar de la forma siguiente. Si y1 , y 2 son dos soluciones de la
ecuación anterior c1 y1 c 2 y 2 es una solución para dos constantes cualesquiera

Definición 1. Las soluciones

y1 , y 2 son linealmente dependientes en un intervalo I siexisten dos

números reales no todos nulos tales que
c1 y1+c2 y2 =0
Si la relación anterior solamente se verifica si c1=c2 =0 entonces y1, y2 son linealmente independientes.
Las soluciones y1, y2 forman un sistema fundamental de soluciones si son linealmente independientes
Teorema 3. Estudio del wronskiano para la independencia lineal

( )

Sea la ecuación homogénea de segundo orden

( )

, y seany1, y2 soluciones de la

ecuación diferencial dada en el intervalo I . Se demuestra que si el Wronskiano de [y1 , y2] que viene dado
por el determinante

W y1 ,y 2  

y1 x  y 2 x 

y1 x  y 2 x 

es distinto de cero , entonces y1 , y2 son linealmente independientes
( )

Teorema 4. Sean y1, y2 soluciones independientes de:

( )

en un intervalo I. Se

demuestra que toda solución de laecuación diferencial es de la forma y = c1 y1+c2 y2, siendo c1 ,c 2
constantes. La combinación lineal: c1 y1+c2 y2 es la solución general de la ecuación diferencial si y1 , y2
son linealmente independientes . Esta solución contiene todas las posibles soluciones de la ecuación
diferencial

5.4.1. Obtención de una segunda solución a partir de una solucion conocida. Sea la ecuación lineal

homogénea desegundo orden
( )

( )

Supongamos que se conoce una solución y1 de la ecuación diferencial. Se trata de buscar una segunda
solución linealmente independiente de la forma

y2(x)= u(x) y1(x)
3

Calculemos y 2 , y 2 y sustituyamos en la ecuación diferencial, se tiene entonces



 



y 1 u' ' 2y 1  Py 1 u' y 1  Py 1  Qy 1 u 0
Como y1  Py1  Qy1  0 . La nueva ecuación...