estructuras algebraicas

Ejercicios de la Asignatura ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS (Curso 2009-10): Temas 0 y 1. 1
Ejercicio 1.– Describir las relaciones de inclusión o pertenecia entre los siguientes conjuntos:
A = ;; B = f;g; C = fa; bg; D = ffag; bg; E = fag; F = ffagg:
Ejercicio 2.– Probar que ffag;fa; bgg = ffa
0g;fa
0
; b0gg si y sólo si a = a
0
; b = b
0
:
Ejercicio 3.– Se suponen conocidos los cardinales delos conjuntos
A; B; C; A \B; A\ C; B \ C; A\B \ C;
y que son finitos. Existe una fórmula que relaciona el cardinal de A [ B [ C con los siete números anteriores.
Hallar esta fórmula y demostrarla.
Ejercicio 4.– Sea f:X ! Y una aplicación, y sean A µ X y B µ Y .
1. ¿Qué relación existe entre f
¡
f
¡1
(B)
¢
y B?
2. ¿Qué relación existe entre f
¡1
¡
f(A)
¢
y A?
3. ¿Y si además sesupone que f es inyectiva o sobreyectiva?
Ejercicio 5.– Sea f:X ! Y una aplicación. Demostrar que
1. f es inyectiva si y sólo si existe una aplicación g:Im(f) ! X tal que g ±f = idX. (Esto se conoce como una
inversa a izquierda.)
2. f es sobreyectiva si y sólo si existe una aplicación h:Y ! X tal que f ±h = idY . (Esto se conoce como una
inversa a derecha.)
Ejercicio 6.– Sean f:X ! Y y g:Y ! Zdos aplicaciones.
1. Si g ± f es sobreyectiva, ¿qué se puede decir sobre f y g?
2. Si g ± f es inyectiva ¿qué se puede decir sobre f y g?
Ejercicio 7.– ¿Son las siguientes relaciones de equivalencia?
1. En R, x R y () xy > 0.
2. En Z, x R y () xy ¸ 0.
3. En R
2
, (x; y)R (x
0y
0
) () existe un ¸ 2 R
¤
tal que x = ¸x0
e y = ¸y0
4. En Z, x R y () x ¡ y es múltiplo de 6.
Ejercicio8.–
1. Sea (G;¢) un grupo y G0 µ G un subconjunto no vacío. Demostrar que G0
es un subgrupo si y sólo si, para
cualesquiera a; b 2 G0
se tiene ab¡1 2 G0
.
2. Sea (R; +;¢) un anillo y R0 µ R un subconjunto no vacío. Demostrar que R0
es subanillo si y sólo si para
cualesquiera a; b 2 R0
, se tiene a ¡ b 2 R0 y ab 2 R0
. ¿Tiene R0
elemento unidad?
Ejercicio 9.– ¿Cuáles de las siguientesestructuras (G;±) son grupos o semigrupos?
1. G = P(X) (con X 6= ;), y A±B = A 4 B.
2. G = P(X) (con X 6= ;), y A±B = A[B.Ejercicios de la Asignatura ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS (Curso 2009-10): Temas 0 y 1. 2
3. G = R, y x ± y = xy.
4. G = R¸0, y x ± y = xy.
5. G = R>0, y x ± y = xy.
6. G = fz 2 C tales que jzj = 1g y x ± y = xy.
Ejercicio 10.– Demostrar que existe un isomorfismo de grupos (R; +) '(R>0;¢).
Ejercicio 11.– Sea G un grupo abeliano, y N un subgrupo de G. Demostrar que el conjunto de subgrupos de G
que contienen a N es biyectivo con el conjunto de subgrupos del grupo cociente G=N. (Si se elimina la hipótesis
de abeliano, y se impone que N sea normal, entonces la correspondencia lleva normales en normales.)
Ejercicio 12.– [Segundo Teorema de Isomorfía] Sea G un grupo abelianoy N µ H dos subgrupos. Entonces,
existe un isomorfismo canónico de grupos
G=H ' (G=N)
±
(H=N):
Ejercicio 13.– [Tercer Teorema de Isomorfía] Sean N y H subgrupos de un grupo abeliano G. Entonces, N \H
es un subgrupo de H, N es un subgrupo de NH, y se verifica
H
±
(N \ H) ' NH=N:
Ejercicio 14.– Sea k un cuerpo. Probar que k[x; y] es un anillo con las operaciones usuales. Sea I el conjuntode los polinomios en la indeterminada x sin término independiente. Tenemos I ½ k[x] ½ k[x; y]:
1. ¿es k[x] un ideal (y/o un subanillo) de k[x; y]?
2. ¿es I un ideal (y/o un subanillo) de k[x]?
3. ¿es I un ideal (y/o un subanillo) de k[x; y]?
Ejercicio 15.– (Ejemplo de anillo no conmutativo) Sea R un anillo. Denotemos por Mn(R) el conjunto de las
matrices n £ n con coeficientes en R. Probarque, con la suma y el producto de matrices, Mn(R) es un anillo no
conmutativo. ¿Tiene elemento unidad?
Ejercicio 16.– Sea X un conjunto y sea R = P(X). Consideramos en R las siguientes operaciones: para A; B 2 R
1. A + B = A4B (diferencia simétrica de A y B que es el conjunto de los elementos que pertenecen a A o B
pero no a ambos)
2. A¢B = A\B:
Probar que R es un anillo conmutativo con...