Euler Y Las Serie Trigonometrica De Fourier

En 1750, el gran Leonard Euler presenta el primero de los 15 trabajos que dedico a este problema, iniciando así un debate que duro cerca de 50 años y en el que intervinieron la mayoría de los grandes matemáticos de la época. La solución de Euler no diferente técnicamente de la de D’Alembert, aunque si el método de deducción.
Partiendo de la posición inicial u(x,0) := f(x) de la cuerda, obtienegeométricamente la solución en la forma
u(x, t) := ½ f(t + x) + ½ f(t − x).

Para Euler, esta ecuación funcional describe totalmente el fenómeno físico y, por tanto, no supone restricción alguna para f. Por tanto, puesto que podemos elegir arbitrariamente la forma inicial de la cuerda (y Euler pone concretamente el ejemplo de una poligonal), f puede ser totalmente arbitraria, “regular ycontenida en una cierta ecuación, o irregular y mecánica.”
El problema subyacente en esta polémica estriba, en primer lugar, en la noción misma de función, que Euler y D’Alembert utilizaban con el mismo nombre, pero con significados distintos. En general, la idea de función no había sido definida con claridad. Para los matemáticos del XVIII la noción más aceptada es la adoptada por el propio Euler en elCapıtulo I de su famoso Introducción Analysin Infinitorum, publicado en 1748:
“Una función de una cantidad variable es cualquier expresión analítica formada con la cantidad variable y con números y cantidades constantes”
Una función esta sujeta a la ley de continuidad si puede expresarse en todo su dominio por una sola expresión analítica siendo en otro casi discontinua, de modo que para Eulerfunciona como:

Son discontinuas.
Un poco más adelante Euler explica la idea que tenían todos los matemáticos de que cualquier función admisible en matemática s podía expresarse como una serie de potencias con exponentes naturales, salvo en un número finito de puntos a lo más. A lo largo de la obra, Euler fundamenta esta convicción obteniendo los desarrollos en serie de una gran cantidad defunciones.
La culminación y sistematización de esta noción de función se encuentra sin duda en la monografía Theorie des fonctions analytiques, publicado en 1797 por J. L. Lagrange como libro de texto para sus alumnos de la Ecole Polytechnique, fundada pocos años antes para formar a las nuevas generaciones de técnicos y científicos que debieran llevar a Francia a la cabeza del desarrollo científico eindustrial después de la Revolución. En este libro que, como orgullosamente declara su autor, presenta la teoría de funciones y el cálculo diferencial ‘‘liberados de toda consideración acerca de infinitesimales, cantidades evanescentes, lımites o fluxiones...”, Lagrange define de hecho una función por su desarrollo en serie de potencias (aunque intenta dar una demostración de la posibilidad de taldesarrollo), y las derivadas sucesivas como los correspondientes coeficientes en el desarrollo en serie de la función.
Es esta noción de función la que adopta y defiende D’Alembert en el debate sobre la cuerda vibrante, junto con la postura más ortodoxa sobre la utilización rigurosa de las leyes del cálculo.

Euler, por su parte, motivado por la naturaleza física del problema, defendió que lasolución obtenida era válida para cualquier función “arbitraria” (mecánica en su notación, para indicar una función cuya grafica está “trazada al azar”). Este problema, junto con otros de naturaleza geométrica, hicieron a Euler considerar su primera definición de función como demasiado restrictivo. Así, en su Institutiones Calculi Differentialis da una nueva definición que, en sentido literal, noestaría demasiado lejos de la concepción moderna de función:
“Si unas cantidades dependen de otras, de modo que si las ´ultimas cambian, lo hacen también las primeras, se dice que las primeras cantidades son funciones de las ´ultimas.”
No obstante la idea actual de función como correspondencia arbitraria era sencillamente extraña para Euler ( y en general al pensamiento de la época ) simplemente...