GUIA TEMA 5

CÁLCULO NUMÉRICO (0258)
Tema 5. Diferenciación e Integración Numérica – Septiembre 2012
1. Utilice la fórmula

f(x + h) − f(x)
h
para calcular la derivada de f(x) = cos(x) en x = 4π y con h = 0.01. Estime el error cometido al
f '(x) ≈

utilizar la fórmula.

2. Sea la fórmula de integración numérica
f(x) − 2f(x + h) + f(x + 2h)
f ''(x) ≈
.
h2
a. Usando series de Taylor deduzca el término deerror.
b. Utilice la fórmula para calcular la segunda derivada de f(x) = cos(x) en x =

π
4

con h = 0.1.

c. Estime el error cometido al utilizar la fórmula y compare con el error real.
3. Usando series de Taylor deduzca el término de error para la aproximación
−3f(x) + 4f(x + h) − f(x + 2h)
f '(x) ≈
.
2h
4. Usando los desarrollos de Taylor para f(x + h) y f(x + k) deduzca la siguiente aproximación def '(x) :

f '(x) ≈

k 2 f(x + h) − h2 f(x + k) + (h2 − k2 )f(x)
.
(k − h)kh

5. Obtener una estimación de f ''(1) empleando un polinomio de tercer grado basado en los
puntos de la siguiente tabla:
x

1

1.1

1.2

1.3

f(x)

0.841

0.891

0.993

1

6. Se dan los puntos de coordenadas P1(−2,5) y P2 (2,5). Obtenga una estimación para f '(0) y
f''(0) , sabiendo que f(0) = 1.
2

7. Siendo f(x) = x3ex −sen(x), aproximar f '(2.19) utilizando tres puntos y con h = 0.1.
8. Deduzca la fórmula de Newton-Cotes para

∫

1

f(x)dx ,
0

usando como nodos a 0, 13 , 23 ,1.
9. Compruebe que la siguiente fórmula es exacta para polinomios de grado ≤ 4 :

∫
Prof. José Luis Quintero

1

f(x)dx ≈

1
[7f(0)
90

+ 32f( 14 ) + 12f( 12 ) + 32f( 34 ) + 7f(1)].

0

1

10. A partir de la fórmula del ejercicioanterior, obtenga una expresión para
b

∫

f(x)dx
a

que sea exacta para todos los polinomios de grado ≤ 4 .
11. Calcule un valor aproximado de ln(2) aplicando la fórmula del ejercicio anterior a

∫

1

0

dx
.
x +1

Compare su respuesta con el valor correcto y calcule el error.
12. Encuentre la fórmula

∫

1

f(x)dx ≈ A0 f(0) + A1f(1)
0

que resulta exacta para todas las funciones de la forma f(x) = aex+ b cos(πx 2) .
13. Encuentre una expresión de la forma

∫

2π

f(x)dx ≈ A 0 f(0) + A1f(π)
0

que sea exacta para cualquier función que tenga la forma f(x) = a + b cos(x).
14. Demuestre que la fórmula resultante en el ejercicio anterior es exacta para cualquier función
de la forma
n

f(x) =

∑

[ak cos((2k + 1)x) + bk sen(kx)] .

k =0

15. Utilice la interpolación polinomial de Lagrange paradeducir la expresión de la forma

∫

1

f(x)dx ≈ Af( 13 ) + Bf( 23 ).
0

a. Halle A y B para que la expresión dada resulte exacta para todos los polinomios de grado
≤ 1.
b. Transforme la fórmula anterior en una que sirva para integrar sobre [a,b] y encuentre el
término de error.

16. Usando el polinomio de grado mínimo que interpola a f(x) en x1 y x2 , deduzca una fórmula
de integración numérica para∫

x3

f(x)dx .
x0

No suponga una distribución uniforme entre los elementos de la partición. En este caso
x0 < x1 < x2 < x3 .

Prof. José Luis Quintero

2

17. Sea p2 (x) el polinomio de interpolación para f(x) en x = 0, h, 2h.
a. Utilice p2 (x) para deducir una fórmula de integración Ih para

∫

3h

f(x)dx
0

b. Aplique Ih al caso

∫

1

0

dx
1 − x2

18. Deduzca una fórmula para aproximar

∫3

f(x)dx ,
1

en términos de f(0), f(2), f(4). Esta expresión deberá proporcionar resultados exactos para
polinomios de grado ≤ 2.

19. Deduzca la fórmula de Newton-Cotes para

∫

1

f(x)dx ,
0

usando polinomios de interpolación de Lagrange con nodos en –2, –1 y 0. Use este resultado
para evaluar la integral cuando f(x) = sen(πx).
20. ¿Existe una expresión de la forma

∫

1

f(x)dx ≈ α[f(x0 ) +f(x1 )] ,
0

que integre correctamente todos los polinomios cuadráticos?

21. Encuentre una fórmula de cuadratura
2

1

∫

∑

f(x)dx ≈ c
−1

f(xi ) ,

i=0

que sea exacta para todos los polinomios cuadráticos. Considere distribución simétrica
respecto al origen.

22. Si la fórmula de integración

∫

1

f(x)dx ≈ f(α) + f(−α),
−1

va a ser exacta para todos los polinomios cuadráticos, ¿qué valor...