integrales de linea

Integrales de línea. Teorema de Green
José Antonio Vallejo
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias
Universidad Autónoma de San Luis Potosí
email: jvallejo@fciencias.uaslp.mx
16 Noviembre 2007

1. Curvas parametrizadas
A menudo nos interesará ver una cierta gráca como si fuese el rastro que
deja un móvil que se desplaza por el plano. Esto lo podemos hacer mediante las
llamadascurvas parametrizadas.

Denición 1 Una curva parametrizada en el plano es un par de ecuaciones
x = f (t)
, t ∈ [a, b].
y = g(t)

C≡

(1)

A t se le llama parámetro de la curva, y resulta útil pensar en el como en el
tiempo.
R
•
•

t2

c

(f(t1),g(t1))
•

t1

•
t0

•

(f(t0),g(t0)) •

(f(t2),g(t2))

Figura 1: Una curva parametrizada

Nota 1 Es importanteespecicar el intervalo de denición del parámetro, pues
en caso contrario nos restringiremos a una región u otra de la curva. Cuando
no digamos nada, entenderemos que el parámetro puede tomar cualquier valor
real para el que estén denidas f (t) y g(t).
1

Entonces, en cada instante la partícula móvil tendrá unas coordenadas (x, y) =
(f (t), g(t)). Observemos que a medida que vamos tomando tmayores, nos vamos
desplazando según un cierto sentido sobre la curva C . Este sentido de recorrido
se llama orientación de la curva C .

Ejemplo 1 Consideremos la curva parametrizada C dada por las ecuaciones
C≡

x = 2 cos t
, t ∈ [0, 2π].
y = 2 sin t

(2)

Podemos hacernos una idea de su forma dando valores al parámetro t. Obtenemos así una tabla como la siguiente:
t
0
π/4
π/23π/4
π

(x, y)
√(2, 0)
√
( 2, 2)
(0, 2)
√
√
(− 2, 2)
(−2, 0)

y, si vamos representando las parejas de valores (x, y) resulta:
Y
•
(-√2,√2)

(0,2)

•

•

•
(-2,0)

(√2,√2)

•
(2,0)

X

Figura 2: Una curva orientada

Nótese como hemos indicado la orientación de la curva, mediante echas
que determinan el sentido de recorrido. Si representamos sucientes punetos,veremos que la gráca es la de una circunferencia de radio 2, recorrida en sentido
antihorario (por convenio, el sentido antihorario se dice que es positivo, véase
la gura 3).
En este ejemplo, podríamos haber reconocido que la curva es una circunferencia sin más que eliminar el parámetro t para obtener una ecuación de la
forma y = y(x). En este caso, elevando al cuadrado las expresiones (2)para x, y
y sumando:
x2 + y 2 = 4 cos2 t + 4 sin2 t = 4.
2

2

Figura 3: Circunferencia de radio 2

Ejemplo 2 En la curva parametrizada con parámetro θ
x = 3 sec θ
, θ ∈ [0, 2π],
y = 2 tan θ

podemos eliminar el parámetro de la siguiente forma: tenemos que x = 3 sec θ =
3/ cos t, o sea, cos θ = 3/x. De aquí,
sin θ =

1 − cos2 θ =

1−

9
.
x2

Una vez que tenemos sin θ,cos θ en términos de x, podemos sustituir en la expressión de y :
sin θ
2
9
y = 2 tan θ = 2
= x 1 − 2,
cos θ
3
x
o bien, elevando al cuadrado:
4
y 2 − x2 = 1.
9
Este proceso no es posible en todos los casos; no siempre se puede despejar
el parámetro para obtener una ecuación y = y(x). En otras palabras: no toda
curva parametrizada C es globalmente el gráco de una función y = y(x).Como
ejemplo tenemos la curva de ecuaciones

et
 x = cos
t
.

y = t2 sin t

Nota 2 Lo que sí se puede hacer siempre es escribir una función arbitraria
y = y(x) como una curva parametrizada. Sólo hay que poner
x=t
.
y = y(t)
3

Ejemplo 3 Consideremos la parábola 4x2 + y = 4. De la ecuación resulta y =

4(1 − x2 ) y, según acabamos de decir, una parametrización sería
x=t
.
y= 4(1 − t2 )

Problemas Sección 1
En los siguientes ejercicios, eliminar t de las curvas parametrizadas que se proponen. Representar la curva y determinar su orientación.
1.

x=t−1
y = t3

2.

x=t−1
y = t(t + 4)

3.

x = a cos t
y = b sin t

4.

x = a cos3 t
y = a sin3 t

5.

x = sin t
y = cot s
Solución: (1) y = (x + 1)3 , (2) y = x2 + 2x − 3, (3)
x 2/3
a

+...