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MATEMATICAS 2º Bachillerato

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r=A+lu A

d B s=B+mv

L´ ımites de Funciones
Fco Javier Gonz´lez Ortiz a

CIENCIAS

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c 2004 gonzaleof@unican.es 11 de junio de 2004

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Tabla de Contenido
1. Introducci´n o 2. Infinit´simos e 2.1.Algebra de infinit´simos e 2.2. Orden de un infinit´simo e 2.3. Infinit´simos equivalentes e 2.4. Principio de Sustituci´n o 3. Infinitos 3.1. Orden de un infinito 3.2. Los infinitos: potencial, exponencial y logar´ ıtmico g(x) 4. C´lculo de l´ a ımites f (x) 4.1. Casos indeterminados de l´ ımites f (x)g(x) 5. Regla de L’H¨pital o ∞ • Caso • Caso 0 · ∞ • Caso ∞ − ∞ ∞ Soluciones a los Ejercicios Soluciones alos Tests

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Secci´n 1: Introducci´n o o

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1. Introducci´n o Si has llegado hasta aqu´ suponemos que has superado el cap´ ı ıtulo de L´ ımites de Funciones I. En este cap´ ıtulo vas a profundizar en el c´lculo de a l´ ımites con funciones: trigonom´tricas, e exponencialesy logar´ ıtmicas que no se han tratado en el cap´ ıtulo anterior. Para ello introduciremos los conceptos de infinit´simo e infinito. Esto nos e 0 que es el permitir´ calcular el tipo de l´ a ımite indeterminado de la forma 0 m´s importante y es objeto esencial del C´lculo diferencial. a a El nivel de este cap´ ıtulo es adecuado para alumnos de 2o de Bachillerato.

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Secci´n 2: Infinit´simos o e

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2. Infinit´simos e Toda variable f (x) se llama infinitamente peque˜a o infinit´simo cuando n e tiende a 0. f (x) → 0 La condici´n esencial es la variabilidad y tener por l´ o ımite 0. No hablamos de n´meros infinitamente peque˜os, ser´ un contrasentido. u n ıa El n´mero 10−2002 esrealmente peque˜o pero no infinitamente peque˜o. u n n La condici´n esencial del infinit´simo es que se pueda hacer tan peque˜o o e n como queramos, por lo que debe ser una expresi´n variable. o Decimos que x2 es infinit´simo en x = 0, pues x2 → 0 en x = 0. Pero e decimos que 1 + x2 no es infinit´simo , pues 1 + x2 → 1 en x = 0. e Tambi´n sen x es infinit´simo en x = 0, pues sen x → 0 en x = 0. Pero e edecimos que 2 + sen x no es infinit´simo , pues 2 + sen x → 2 en x = 0. e As´ mismo, sen(1 + x) no es infinit´simo en x = 0, pues sen(1 + x) → sen 1 ı e en x = 0, pero si lo es en x = −1. Y as´ sucesivamente. ı Ejemplo 2.1. Las siguientes funciones son infinit´simos en los puntos que se e indican 1 a) l´ x − 1 ım b) l´ ım c) l´ x2 ım x→∞ x x→1 x→0 d ) l´ sen x ım e) l´ cos x ım f ) l´ tan x ım
x→0 x→π/2x→0

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Secci´n 2: Infinit´simos o e

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g) l´ ex − 1 ım
x→0

h) l´ (1 − cos x ım
x→0

i ) l´ ln(1 + x) ım
x→0

d

2.1. Algebra de infinit´simos e Regla I La suma finita de infinit´simos es un infinit´simo. e e α(x) → 0 β(x) → 0 =⇒ α(x) + β(x) → 0
x→0

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CIENCIASl´ x2 + sen x = 0 ım

x→0

l´ x4 + sen x2 = 0 ım

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Regla II EL producto de un infinit´simo por una constante, o por una varie able acotada, es un infinit´simo. e k ∈ R, α(x) → 0 =⇒ Kα(x) → 0 z(x) acotada , α(x) → 0 =⇒ z(x)α(x) → 0 2.2. Orden de un infinit´simo e Cuando x → 0 las variables: x, x2 , x3 , · · · , xm , · · · son infinit´simos y ´stas se tomancomo tipos de comparaci´n de otros ine e o finit´simos. Decimos que f (x) es un infinit´simo en el punto x = a de orden e e n cuando f (x) l´ ım = Cte = 0 x→a (x − a)n

Secci´n 2: Infinit´simos o e

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2.3. Infinit´simos equivalentes e Dos infinit´simos se dicen equivalentes (α ∼ β) cuando el l´ e ımite de su cociente es 1. Si α → 0 y β → 0 son...