MA30B Funciones II

C u r s o : Matemática
Material N° 30B
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 30B
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
FUNCIONES II
TRASLACIÓN DE FUNCIONES
Sea y = f(x) una función.


La función y = f(x) + k es la función f desplazada k unidades en el eje y. Si k > 0 el
desplazamiento es en el sentido positivo del eje y, y si k < 0 el desplazamiento es en el sentido
negativo (fig. 1 y 2).



La función y = f(x – h)es la función f trasladada h unidades en el eje x. Si h > 0 el
desplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h < 0 es en el sentido negativo (fig. 3 y
fig. 4).



La función y = f(x – h) + k es la función f desplazada k unidades en el eje y, y
h unidades en el eje x.
Si h y k son positivos, entonces:

y = f(x) + k

y = f(x) – k

y

y = f(x – h)

y

y

f

y

f

f

x

x

f

x

fig. 2fig. 1

y = f (x + h)

x

fig. 3

fig. 4

EJEMPLOS
1.

2

2

La figura 1, muestra la gráfica de la función y = x . ¿Cuál es la gráfica de la función y = x +1?

y

fig. 1

x
A) y

B)

1

x

C)

y

-1

D) y

y

1

x

1

x

E)

x

y

x

2.

La figura 2 muestra la gráfica de la función y =
y=2+

x  1?

x . ¿Cuál es la gráfica de

y
fig. 2

x
A)

B)
y

y

D)
y

y

E)
y
1

2

1

1

x

-1

3.

C)

x

2x

-2

x

-2

2

x

1

La figura 3, muestra la gráfica de la función y = x3, entonces el gráfico que mejor
representa a la función y = (x + 1)3 + 2?
y

8

fig. 3

-2

x

2
-8

A)

y

y

B)

2

x

-1

y

D)

1

E)

-1

x

2
1

4.

y

C)

y

x

2

-2

-2

x

-1

x

La figura 4, muestra la gráfica de la función f(x), entonces el gráfico de la función
g(x) = f(x + 2) + 1?
y
fig. 4

1
-1

A)

B)

y
2
1-3 -2 -1

C)

y
2
1

x

1

x

D)

y
-3 -2 -1

1 2 3

-1
-2

x

2

x

E)

y
1 2 3
1
2

x

y

-1

1

x

SIMETRIA DE GRÁFICA DE FUNCIONES

Sea y = f(x) una función.



La función y = - f(x) es simétrica a la función f(x) respecto al eje x. (fig. 1).
La función y = f(-x) es simétrica la función f(x) respecto al eje y. (fig. 2).
y = -f(x)
y = f(-x)
y

y

f

f

x

x

fig. 1

fig. 2

EJEMPLOS

1.

Lafigura 1, muestra la gráfica de la función f(x) =
3
y
g(x) = - -x ?

B)
y

x

2.

C)
y

x . ¿Cuál es la gráfica de

fig. 1

x

A)

3

D)

E)
y

y

x

x

x

g No
está
definida
en lR

En la figura 2, tenemos representadas gráficamente dos funciones, al lado izquierdo la
función f(x) y al lado derecho la función g(x), la cual se puede obtener realizando una
reflexión de f(x) con respecto del eje x odel eje y. ¿Cuál(es) de las siguientes funciones
tienen como gráfico g(x)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)

y=f(-x)
y=–f(x)
y=–f(-x)

y

y

x

x

Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III

f(x)

g(x)
fig. 2

3

FUNCIONES PARES

Son aquellas que al sustituir la variable independiente por dos valores opuestos, resultan
valores iguales.
f(x) = f(-x)
FUNCIONES IMPARES

Son aquellas que al sustituirla variable independiente por dos valores opuestos, resultan
valores opuestos.
f(x) = -f(-x)

Las funciones pares tienen una gráfica que es simétrica respecto al eje de las
ordenadas, mientras que las funciones impares tiene gráficas simétricas con respecto del
origen.
OBSERVACIÓN:

EJEMPLOS

1.

¿Cuál de las siguientes funciones es impar?
A)
B)
C)
D)
E)

2.

f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)

=
=
=
=
=x3 + 2
x3 + x
3 + 2x3
3x + 5
x2 +3x4

¿Cuál de los siguientes gráficos representa una función par?
A)

y

B)

C)

y

x

y

x

D)

x
E)

y

x

4

y

x

COMPOSICION DE FUNCIONES

La función compuesta de funciones f(x) y g(x) está definida por
(f o g) (x) = f(g(x))
El Dominio de (f o g) (x) es el conjunto de toda x en el Dominio de g tal que g(x) está en el
Dominio de f
Propiedades de la Composiciónde Funciones
Es asociativa:

h o (g o f) = (h o g) o f

No es conmutativa: (f o g) ≠ (g o f)
EJEMPLOS

1.

Sea f(x) = 2x + 1
A)
B)
C)
D)
E)

2.

x + 3 , entonces (f o g)(1) =

2
3
4
5
6

Si f(x) = 5 y g(x) = x2, entonces (f o g)(x) es igual a
A)
B)
C)
D)
E)

3.

y g(x) =

5
25
-5
x2
5x2

Si f(x) =

3

x y g(x) = x3, entonces f(g(x)) es

A) x
B) 3x
3

C)
x
3
D) x
E) 1

5

4.

Si f(x) =

x  1 y...