Matematica 1 funciones

Universidad Metropolitana
Dpto. de Matemáticas Para Ingeniería
Matemática I (FBTMI01)

Trimestre 2011-12_3
7:00 - 8:30 a.m.

Parcial I

1. Dada g ( x ) =

1 - sen x
determina
π
x+
3

a) El dominio deg

b) La preimagen de 0

Solución:

π


a) Dom g =  x ∈ R / x + ≠ 0
3


x+

π
3

=0⇔ x=−

π
3

 π
Dom g = R − − 
 3

b) g (x) = 0 ⇔

1 - sen x
x+

π

= 0 ⇔ 1 − sen x = 0 ⇔ sen x = 1 ⇔ x=

π
+ 2kπ,
2

k∈Z

3
g ( x) = 0 ⇔ x =

π
+ kπ, k ∈ Z
2

Puntaje: 3 puntos: 1 punto la a) y 2 puntos la b)

2. Si g ( x) = 2 x + 1 y

h( x ) = 4 x 2 + 4 x + 7 . Encuentra una función f tal que f o g =h .

Solución:

( f o g )( x) = h( x) ⇔ f (2 x + 1) = 4 x 2 + 4 x + 7 = (2 x + 1)2 + 6
Luego,

( f o g )( x) = h( x) ⇔ f (2 x + 1) = 4 x 2 + 4 x + 7 = (2 x + 1)2 + 6
Por lo tanto,

f ( x) = x 2 + 6Puntaje: 2 puntos

 1
 x si x < −1


2 si − 1 ≤ x < 4
3. Dada la función f definida por f ( x) = 

 x si x > 4



a) Grafica la función f.
b) Halla f ( f (−2) ) .
c) Determina donde lafunción es creciente, decreciente o constante.
d) Determina el rango de f.
e) Grafica la función g definida por g ( x) = f ( x) − 1 .
Solución:
a)

 1
b) f ( f (−2) ) = f  −  = 2
 2
c) La función escreciente en (4 , + ∞ ) , es decreciente en (− ∞ , − 1) y es constante en [− 1 , 4) .
d) Rg f = (− 1 , 0) ∪ [2 , + ∞ ) .
e)

h( x ) = f ( x )

g ( x) = f ( x) − 1

Puntaje: 7 puntos: 2 puntos cada unade las partes a) y e), 1 punto cada una de las partes b), c) y
d)

2

4. Indica si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.

a. Si g ( x ) = x + 4 y f ( x) =
b.arccos(0 ) = −

g
x

. El dominio de la función
es Dom g = R − 
f
2x − 3

f

3
.
2

π
2

c. La función exponencial de base

3
es decreciente.
5

d. La gráfica de f ( x ) = ( x − 2 )3 se obtienedesplazando la gráfica de f ( x ) = x 3 dos unidades a la
izquierda en la dirección del eje x.
e. La función h definida por h( x ) = x 4 + cos x es par.
f. Si el rango de una función f es Rg f = { 5...