Matematica 1 funciones
Dpto. de Matemáticas Para Ingeniería
Matemática I (FBTMI01)
Trimestre 2012-13_1
8:45 - 10:15 a.m.
Parcial I
1. Sea f (x ) =
x2
5 − x4
, determina el valor de f
( 5 )−f ( 3 ) .
Solución:
f
( 5 )+ f ( 2 ) = 5 −525 − 5 −3 9 = − 205 + 34 = − 14 + 34 = 24 = 12
Puntaje: 2 puntos: corregida buena o mala
2 x si x < −2
4 si x = −2
2. Dada la función f definidapor f ( x) = 2
x − 3 si − 1 < x < 2
− sen x si x ≥ π
a) Grafica la función f.
b) Determina el dominio y el rango de la función f.
c) Halla f ( f (5π )) .
d) Con ayuda de la gráfica determinaanalíticamente la preimagen de −
e) Grafica la función g definida por g ( x) = − f ( x) − 2 .
Solución:
a)
b) Dom f = (−∞ , − 2] ∪ (−1 , 2) ∪ [π , + ∞ ) y
c) f ( f (5π )) = f (− sen (5π )) = f (0) =−3
Rg f = [−3 , 1] ∪ {4}
3
2
d) f ( x) = −
3
3
3
3
⇒ x2 −3 = − ⇒ x2 = 3− ⇒ x2 = ⇒ x =
2
2
2
2
h( x ) = − f ( x )
e)
3
(porque −1 < x < 2 )
2
g ( x) = − f ( x) − 2
Puntaje: 7 puntos: 2 puntos cadauna de las partes a) y e), y 1 punto cada una de las partes b), c) y
d).
3. Dada g ( x) =
2− x−3
(
ln x 2 − 9
)
determina el dominio de g.
Solución:
{
Dom g = x ∈ R / 2 − x − 3 ≥ 0
y
x2 −9> 0
y
}
x2 −9 ≠ 1
(*)
2 − x − 3 ≥ 0 ⇔ x − 3 ≤ 2 ⇔ −2 ≤ x − 3 ≤ 2 ⇔ 1 ≤ x ≤ 5
x 2 − 9 > 0 ⇔ x 2 > 9 ⇔ x > 3 ⇔ x < −3 ó
x 2 − 9 = 1 ⇔ x 2 = 10 ⇔ x = 10 ⇔ x = − 10
(
) (
]
Dom g = 3 , 10 ∪ 10 ,5
x>3
ó
x = 10
(**)
Puntaje: 4 puntos: 1 punto dar (*), 2 puntos trabajar las condiciones y 1 dar (**)
4. Sean g ( x ) = ln x y
3
f ( x) = e x .
a) Determina el dominio de la función
f
.
gb) Halla el valor de x para el cual f (g ( x) ) = g ( f ( x) ) .
Solución:
2
a)
Dom
f
= Dom f ∩ Dom g − {x ∈ R / g ( x) = 0} = R ∩ R + − {x ∈ R / ln x = 0} = R + − {1 }
g
f ( g ( x ) ) = f (ln x) = e
3
b)
ln x
=
3
x
( )
3
3
x
1
g ( f ( x) ) = g e x = ln e x = ln e x =
3
3
Por lo tanto,
f (g ( x) ) = g ( f ( x) ) ⇔ x =
3
(
)
x
⇒ x 3 = 27 x ⇒ x 3 − 27 x = 0...
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