Matematica 1 funciones

Universidad Metropolitana
Dpto. de Matemáticas Para Ingeniería
Matemática I (FBTMI01)

Trimestre 2011-12_3
8:45 - 10:15 a.m.

Parcial I

1. Dada g ( x) =

1 - cos x
determina
π
x−
2

a) El dominio deg

b) La preimagen de 0

Solución:

π


a) Dom g =  x ∈ R / x − ≠ 0
2


x−

π
2

=0⇔ x=


Dom g = R − 


b) g (x) = 0 ⇔

1 - cos x
x−

π

π
2
π

2

= 0 ⇔ 1 − cos x = 0 ⇔ cos x = 1 ⇔ x =2kπ, k ∈ Z

2
g ( x ) = 0 ⇔ x = 2kπ , k ∈ Z

Puntaje: 3 puntos: 1 punto la a) y 2 puntos la b)

2. Si g ( x ) = x − 1 y

h( x ) = x 2 − 2 x + 4 . Encuentra una función f tal que f o g = h .

Solución:( f o g )( x) = h( x) ⇔ f (x − 1) = x 2 − 2 x + 4 = (x − 1)2 + 3
Luego,

( f o g )( x) = h( x) ⇔ f (x − 1) = x 2 − 2 x + 4 = (x − 1)2 + 3
Por lo tanto,

f ( x) = x 2 + 3
Puntaje: 2 puntos

 x + 1si x ≤ −1


2 si − 1 < x < 1
3. Dada la función f definida por f ( x) = 

 1 si 1 < x ≤ 2
x

a) Grafica la función f.
b) Halla f ( f (0) ) .
c) Determina donde la función es creciente,decreciente o constante.
d) Determina el rango de f.
e) Grafica la función g definida por g ( x) = f ( x) − 1 .
Solución:
a)

b) f ( f (0) ) = f (2 ) =

1
2

c) La función es creciente en (−∞ , − 1] , esdecreciente en (1 , 2] y es constante en (− 1 , 1) .

1 
d) Rg f = (− ∞ , 0] ∪  , 1 ∪ { 2 } .
2 
e)

h( x ) = f ( x )

g ( x) = f ( x) − 1

Puntaje: 7 puntos: 2 puntos cada una de las partes a) ye), 1 punto cada una de las partes b), c) y
d)

2

4. Indica si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.

a. Si g ( x ) = x + 4 y f ( x) =
b. arcsen (0) = 2π

g
2x
1
. El dominio de la función
es Dom g = R −   .
f
3x − 1
 3
f

c. La función exponencial de base

2 es creciente.

d. La gráfica de f ( x ) = (x + 2 ) se obtiene desplazando la gráfica de f ( x) = x 3 dos unidades a la
derecha en la dirección del eje x.
3

e. La función h definida por h( x ) = x 3 + sen x es impar.
f. Si el rango de una función f es Rg f = { 5 } entonces el dominio de la...