Matematica 1 funciones

Universidad Metropolitana
Dpto. de Matemáticas Para Ingeniería
Matemática I (FBTMI01)

Trimestre 2012-13_2
8:45 - 10:15 a.m.

Parcial I

1. Sea f (x ) = 4 7 x −12 , determina la preimagen de 64.Solución:

f (x ) = 64 ⇔ 4 7 x −12 = 64 ⇔ 4 7 x −12 = 4 3 ⇔ 7 x − 12 = 3 ⇔ 7 x = 15 ⇔ x =

15
7

Puntaje: 2 puntos: corregida buena o mala
2. Sea f (x ) = 1 − k (3 − x ) . ¿Para qué valor de k la gráficade f pasa por el punto P(−2 , − 8)

Solución:

La gráfica pasa por el punto P si

f (− 2) = −8 ⇔ 1 − k (3 + 2) = −8 ⇔ 1 − 5k = −7 ⇔ 5k = 9 ⇔ k =

9
8

Puntaje: 2 puntos: corregida buena o mala

1

−x

2
3. Dada la función f definida por f ( x) = 1 + x

−2

 ln x

si
si

x < −1
−1 ≤ x < 2

si

x=2

si

x≥e

a) Grafica la función f.
b) Determina el dominio y el rango de la función f.
c)Halla f ( f (1)) .
d) Con ayuda de la gráfica determina analíticamente la preimagen de 1
e) Indica los intervalos en los cuales la función es creciente y en los que es decreciente
Solución:
a)

b) Dom f= (−∞ , 2] ∪ [e , + ∞ ) y

c) f ( f (1)) = f (2 ) = −2

Rg f = { − 2 }∪ (0 , + ∞ )

d) f ( x) = 1 ⇒ 1 + x 2 = 1 ó ln x = 1 ⇒ x = 0 ó

x=e

e) La función es creciente en (−∞ , − 1) en [0 , + ∞ ) y en[e , + ∞ ) , y es decreciente en [−1 , 0] y en

Puntaje: 6 puntos: 2 puntos la parte a) y 1 punto cada una de las partes b), c), d) y e).
4. Sean h ( x ) = x , f (x ) = x 2 − 9 y g (x ) = sen (3x − 1). Si F (x ) = g ( x) + (h o f )( x)
a) Halla una expresión para F (x ) .
b) Determina el dominio de la función F.

Solución:
a)
b)

F (x ) = g ( x) + h( f ( x) ) = sen (3 x − 1) + x 2 − 9

{

}

Dom F= x ∈ R / x 2 − 9 ≥ 0

x 2 − 9 ≥ 0 ⇔ x 2 ≥ 9 ⇔ x ≥ 9 ⇔ x ≤ −3 ó

x≥3

Luego,

Dom F = (−∞ , − 3] ∪ [3 , + ∞ )

Puntaje: 3 puntos: 1 punto la parte a) y 2 puntos la parte b)

2

5. La gráfica de lafunción g se muestra
en la figura. A partir de la gráfica de g
determina la gráfica de la función f
definida por f ( x) = 1 − g ( x + 1)

Solución:

f 1 ( x) = g ( x + 1)

f 2 ( x) = − g ( x + 1)...