Matematicas para el Economico

Prentice
Hall

Knot Sydsaeter
Peter J. Hammond
http://libreria-universitaria.blogspot.com

^üWîIü

M o3 iö$'

11u

Ò K3.
es
una flecha de implicación, y apunta a la dirección de la implicación lógica. Damos algunos ejemplos
de implicaciones verdaderas.

Sec. 1.5 / Algunos aspectos de lógica

17

Ejem plo 1.7
(a) x > 2 ==> x 2 > 4.
(b) x y = 0 ==> x = 0 ó y — 0.
(c) xes un cuadrado = > x es un rectángulo.
(d) x es una persona sana ==> x

respira.

Nótese que la palabra “o” significa en matemáticas el “o inclusivo”, lo que quiere decir que “P
ó Q ” significa “o P , o Q, o ambas”.
Todas las proposiciones del ejemplo 1.7 son proposiciones abiertas, como la mayoría de las
que encontramos en matemáticas. Una implicación P = > Q significa que, para cada valorde una
variable para el que P es verdadera, Q lo es también.
En algunos casos en que la implicación (*) es válida, puede deducirse la conclusión lógica en
la otra dirección:
Q ^ P
En estos casos, podemos escribir ambas implicaciones juntas en una única equivalencia lógica:

P P .
El símbolo es una flecha de equivalencia. En el ejemplo 1.7 anterior vemos que se
puede sustituir laimplicación de (b) por una equivalencia, porque también es cierto que x = 0 ó
y = 0 implica x y = 0. Nótese que no se puede sustituir ninguna otra implicación de ese ejemplo
por una equivalencia. En efecto, de que x 2 sea mayor que 4 no se deduce que x sea mayor que 2
(por ejemplo x = —3). Asimismo, un rectángulo no tiene por qué ser un cuadrado. Finalmente, el
hecho de que una persona x respire nosignifica que esté sana.

Condiciones necesarias y suficientes
Hay otras maneras que se usan frecuentemente para expresar que la proposición P implica la pro­
posición Q, o que P es equivalente a Q. Así, si P implica Q, decimos que P es una “condición
suficiente” para Q. Después de todo, para que Q sea verdadera, es suficiente que P lo sea. De
manera análoga, sabemos que si P se verifica,entonces es cierto que Q también se verifica. En este
caso decimos que Q es una “condición necesaria” para P . De hecho, Q debe ser necesariamente
cierta si P lo es. Por tanto,

P es una condición suficiente para Q significa: P = > Q
Q es una condición necesaria para P significa: P = > Q

Por ejemplo, si formulamos la implicación del ejemplo 1.7 (c) en este lenguaje, se tendría:
Unacondición necesaria para que x sea un cuadrado es que x sea un rectángulo.
o
Una condición suficiente para que x sea un rectángulo es que x sea un cuadrado.
La expresión verbal correspondiente a P Q es: P es una condición necesaria y suficiente para
Q, o P si y sólo si Q. De lo anterior resulta evidente que es muy importante distinguir entre las pro­

Capítulo 1 / Introducción
posiciones “P es unacondición necesaria para Q " (que significa Q =>■ P ) y “P es una condición
suficiente para Q ” (que significa P = > Q ). Para poner de relieve la cuestión, considérense las dos
proposiciones siguientes:
1. Respirar es una condición necesaria para que una persona esté sana.
2. Respirar es una condición suficiente para que una persona esté sana.
Evidentemente la proposición 1 es cierta. Encambio, la 2 es falsa porque un enfermo (vivo) respira.
En las páginas siguientes incluiremos una y otra vez condiciones necesarias y suficientes. El enten­
derlas y entender las diferencias entre ellas es una condición necesaria para comprender el análisis
económico. Desgraciadamente no es una condición suficiente.

Resolución de ecuaciones
Damos ahora unos ejemplos de cómo el uso de flechasde implicación y equivalencia puede ayudar
a evitar errores al resolver ecuaciones como la del ejemplo 1.6.
Ejem plo 1.8
Hallar todos los x tales que (2x — l )2 — 3x2 = 2 (^ — 4 x).
Solución: Desarrollando ambos miembros obtenemos una nueva ecuación que tiene, evidente­
mente, las mismas soluciones que la dada:
(2x - l )2 - 3 x 2 = 2 ( ¡ - 4 x)

4 x 2 — 4 x + 1 — 3 x 2 = 1 - 8x...