Metodo Series De Taylor
Páginas: 6 (1442 palabras)
Publicado: 11 de abril de 2012
Método de las series de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales lineales
y no lineales
1. Objetivo
2. Solución en series de Taylor alrededor de un punto ordinario
3. Bibilografía
Objetivo
Aplicar el método de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales, que como se verá es la misma solución que proporciona la solución en series de potencias (o de coeficientesindeterminados). Esto es, si la solución en series de potencias arroja la solución en una formula cerrada, se tendrá entonces que la solución dada por los polinomios de Taylor también entregará dicha so-lución en forma cerrada.
Por lo tanto, en el caso de solución en puntos ordinarios, debería de enseñarse el método de desarrollo de Taylor, pues viene a ser mucho más cómodo para un estudiante deecuaciones diferenciales, pues cuando se trabaja con solución mediante series de potencias, el acomodo de los índices de la sumatoria siempre es un poco confuso para ellos. Sin embargo ambos métodos son en esencia los mismos.
Veamos en que consiste cada método.
[pic]
Ya que no hay funciones elementales para calcular la integral anterior, por lo tanto no se podría escribir la solución en formacerrada y por consiguiente tendríamos que conformarnos con alguna aproximación numérica.
Apliquemos inicialmente el método de Taylor.
[pic]
Reemplazando (1.4) y (1.5) en (1.1), encontramos
[pic]
Según el autor, debe ser obvio que es más fácil obtener valores adicionales de los coeficientes de la serie utilizando el método de los coeficientes indetermina-dos, que utilizando elmétodo de las series de Taylor. En consecuencia, dice el autor, usualmente se empleará el método de los coeficientes indeterminados, descartando entonces el método de las series de Taylor.
Pero si seguimos trabajando un poco en el ejemplo anterior, por el método de series de Taylor, tenemos
[pic]
Se observa la siguiente ley de formación:
[pic]
Nuevamente se obtiene la soluciónencontrada por series de potencias:
[pic]
En conclusión, el ejemplo para mostrar que el método de la series de Taylor no produce la misma calidad de las soluciones, no es válido. Es más, el autor dice que el método de Taylor se adapta fácilmente a problemas de valor inicial, lo cual, como veremos más adelante, el método funciona si lo que se quiere resolver es una ecuación diferencial sincondiciones iniciales, con la misma calidad de las soluciones que el método de las series de potencias.
Solución en series de Taylor alrededor de un punto ordinario
Las ecuaciones diferenciales homogéneas lineales de segundo orden de la forma
[pic]
La solución de esas ecuaciones, en general, no pueden expresarse en términos de funciones elementales familiares. Por lo cual utilizaremoslos polinomios de Taylor.
Definición (punto ordinario)
[pic]
Necesitaremos el próximo teorema.
Teorema (existencia de soluciones en series de Taylor)
[pic]
incluso la ecuación de Legendre (2) , la ecuación de Ayry (3), la ecuación de Chebyshev (3), y la ecuación de Hermite (5 ).
En el ejemplo siguiente se dará la solución en series de Taylor para la ecuación (6), la cual la haremos,sin pérdida de generalidad para el caso
[pic]
El ejemplo resultará ilustrativo, ya que mostrará como trabajar en todos los casos.
Ejemplo 2. Encuentre la serie de potencias en x para la solución general de
[pic]
Solución:
Buscamos la solución general de la forma
[pic]
Al derivar la ecuación (2.1) implícitamente con respecto a x, se obtiene:
[pic]
Luego se encuentra que[pic]
Ejercicio.
Ejemplo 3. Encuentre la serie en series de potencias en x para la solución general de
[pic]
Solución:
[pic]
Ahora determinemos los coeficientes de las potencias impares de x:
[pic]
A partir de (8) y (9) vemos que
[pic]
El siguiente ejemplo muestra que, en muchos casos hay que conformarnos con encontrar un número finito de términos, ya que no se tiene una...
y no lineales
1. Objetivo
2. Solución en series de Taylor alrededor de un punto ordinario
3. Bibilografía
Objetivo
Aplicar el método de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales, que como se verá es la misma solución que proporciona la solución en series de potencias (o de coeficientesindeterminados). Esto es, si la solución en series de potencias arroja la solución en una formula cerrada, se tendrá entonces que la solución dada por los polinomios de Taylor también entregará dicha so-lución en forma cerrada.
Por lo tanto, en el caso de solución en puntos ordinarios, debería de enseñarse el método de desarrollo de Taylor, pues viene a ser mucho más cómodo para un estudiante deecuaciones diferenciales, pues cuando se trabaja con solución mediante series de potencias, el acomodo de los índices de la sumatoria siempre es un poco confuso para ellos. Sin embargo ambos métodos son en esencia los mismos.
Veamos en que consiste cada método.
[pic]
Ya que no hay funciones elementales para calcular la integral anterior, por lo tanto no se podría escribir la solución en formacerrada y por consiguiente tendríamos que conformarnos con alguna aproximación numérica.
Apliquemos inicialmente el método de Taylor.
[pic]
Reemplazando (1.4) y (1.5) en (1.1), encontramos
[pic]
Según el autor, debe ser obvio que es más fácil obtener valores adicionales de los coeficientes de la serie utilizando el método de los coeficientes indetermina-dos, que utilizando elmétodo de las series de Taylor. En consecuencia, dice el autor, usualmente se empleará el método de los coeficientes indeterminados, descartando entonces el método de las series de Taylor.
Pero si seguimos trabajando un poco en el ejemplo anterior, por el método de series de Taylor, tenemos
[pic]
Se observa la siguiente ley de formación:
[pic]
Nuevamente se obtiene la soluciónencontrada por series de potencias:
[pic]
En conclusión, el ejemplo para mostrar que el método de la series de Taylor no produce la misma calidad de las soluciones, no es válido. Es más, el autor dice que el método de Taylor se adapta fácilmente a problemas de valor inicial, lo cual, como veremos más adelante, el método funciona si lo que se quiere resolver es una ecuación diferencial sincondiciones iniciales, con la misma calidad de las soluciones que el método de las series de potencias.
Solución en series de Taylor alrededor de un punto ordinario
Las ecuaciones diferenciales homogéneas lineales de segundo orden de la forma
[pic]
La solución de esas ecuaciones, en general, no pueden expresarse en términos de funciones elementales familiares. Por lo cual utilizaremoslos polinomios de Taylor.
Definición (punto ordinario)
[pic]
Necesitaremos el próximo teorema.
Teorema (existencia de soluciones en series de Taylor)
[pic]
incluso la ecuación de Legendre (2) , la ecuación de Ayry (3), la ecuación de Chebyshev (3), y la ecuación de Hermite (5 ).
En el ejemplo siguiente se dará la solución en series de Taylor para la ecuación (6), la cual la haremos,sin pérdida de generalidad para el caso
[pic]
El ejemplo resultará ilustrativo, ya que mostrará como trabajar en todos los casos.
Ejemplo 2. Encuentre la serie de potencias en x para la solución general de
[pic]
Solución:
Buscamos la solución general de la forma
[pic]
Al derivar la ecuación (2.1) implícitamente con respecto a x, se obtiene:
[pic]
Luego se encuentra que[pic]
Ejercicio.
Ejemplo 3. Encuentre la serie en series de potencias en x para la solución general de
[pic]
Solución:
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Ahora determinemos los coeficientes de las potencias impares de x:
[pic]
A partir de (8) y (9) vemos que
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El siguiente ejemplo muestra que, en muchos casos hay que conformarnos con encontrar un número finito de términos, ya que no se tiene una...
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