Metodo de euler y serie de Taylor

Cuando realizamos modelos de situaciones físicas en las ciencias naturales, ingenierías y/u
otras disciplinas donde hay envueltas razones de cambio de una ó varias funciones
desconocidas con respecto a una ó varias variables independientes generamos ecuaciones
diferenciales. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación
diferencial para una función desconocida,hasta otros más complejos que envuelven sistemas
de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas. Por ejemplo, la
ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los
cuerpos, al ponerse en términos matemáticos dan lugar a ecuaciones diferenciales.
Usualmente estas ecuaciones están acompañadas de una condición adicional que especifica
elestado del sistema en un tiempo o posición inicial. Esto se conoce como la condición
inicial y junto con la ecuación diferencial forman lo que se conoce como el problema de
valor inicial. Estas se caracterizan por ser aquellas que involucran una variable
independiente, una variable dependiente y la derivada(s) de esta última. En una ecuación
diferencial, la incógnita es la variabledependiente y se espera encontrarla como función de
la variable independiente, de tal forma que si se sustituye dicha variable dependiente, así
como las derivadas que aparecen en la ecuación diferencial, la igualdad que resulta es
verdadera.
Por lo general, la solución exacta de un problema de valor inicial es imposible ó difícil de
obtener en forma analítica. Por tal razón los métodos numéricos seutilizan para aproximar
dichas soluciones.
El objetivo de este ensayo es realizar una descripción breve y práctica de métodos para
resolver las incógnitas mencionadas previamente. En este caso utilizaremos los métodos de
Taylor y Euler, realizando una pequeña mención acerca del método de Euler mejorado.
Serie De Taylor
De acuerdo a la comprensión de la información, este método consiste encalcular las
derivadas sucesivas de la ecuación diferencial dada, evaluando las derivadas en el punto
inicial 0 x y reemplazando el resultado en la serie de Taylor. La principal dificultad de este
método es el cálculo recurrente de las derivadas de orden superior.
Esto nos ayuda a comprender, manejar y formular métodos numéricos, los cuales están
basados en la aproximación de funciones por mediode polinomios. Una gran parte de los
métodos numéricos se basan en la aproximación de funciones por medio de polinomios. Esta
serie es una serie infinita de potencias que representa, de manera exacta, el comportamiento
de la función en la vecindad de un punto dado.
Tratare de no sumergirme en los orígenes teóricos de esta serie, para así tener una
comprensión práctica al resolver algunosejemplos que aquí desarrollare, con la finalidad de
aterrizar las ideas de manera sencilla, sin embargo, es requerido conocer la definición
matemática de esta serie, la cual nos indica lo siguiente:

“Sea una función f(X) que tiene derivadas continuas hasta de orden n en el punto Xi, para
el cual se conoce el valor de la función a0 y el de sus derivadas: a1, a2, a3, a4, … an, …”
Esto seejemplifica en la siguiente gráfica:

Con esto se busca encontrar un polinomio de la forma:
𝐏 𝐱 = 𝐚 𝟎 + 𝐚 𝟏 𝐱 + 𝐚 𝟐 𝐱 𝟐 + 𝐚 𝟑 𝐱 𝟑 + ⋯+ 𝐚 𝐧 𝐱 𝐧
Que permita predecir el valor de la función en un punto cualquiera X, en términos de la
propia función y de sus derivadas en el punto Xi. Con esto buscamos calcular las derivadas
sucesivas de la ecuación diferencial original, evaluando las derivadas en elpunto inicial X0 y
reemplazando el resultado en la serie de Taylor, su forma compacta seria:
∞

𝐧=𝟎

𝐟𝐧 𝐜
(𝐱 − 𝐜) 𝐧
𝐧!

Y la expresión desarrollada:
𝐟′ 𝐜
𝐟 ′′ 𝐜
𝐟 ′′′ 𝐜
𝐱− 𝐜 +
𝐱− 𝐜 𝟐+
𝐱− 𝐜 𝟑+⋯
𝟏!
𝟐!
𝟑!
Donde n! es el factorial de n y f(n) es la enésima derivada de f en el punto a.
𝐟 𝐜 +

Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un...