MMurillo Sucesiones Y Series

Instituto Tecnol´
ogico de Costa Rica
´
ESCUELA DE MATEMATICA

Sucesiones y Series

Manuel Murillo T.

2010

Sucesiones y Series
“Las matem´aticas comparan los m´as diversos fen´omenos
y descubren las analog´ıas secretas que los unen.”
Joseph Fourier (1768-1830)

Sucesiones
Series
Criterio Integral y p-series
Criterios de Comparaci´on
Criterios de la Raz´on y de la Ra´ız
Series Alternadas yConvergencia Absoluta
Otros criterios
Series de potencias
Series de Taylor y Maclaurin
Soluci´on de algunos ejercicios

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Cap´ıtulo 1

Sucesiones
Entendemos que una sucesi´
on es simplemente una lista de objetos dispuestos en
orden: el primer elemento, el segundo elemento, etc.; por ejemplo, la sucesi´on: a, ab,
abb, aabb, aabbb, . . . , donde los puntos suspensivos se leen y as´ı sucesivamente,define
una colecci´on de tiras o arreglos de las letras a y b, en donde podemos inferir que el
sexto t´ermino de esta sucesi´on ser´ıa aaabbb y el s´eptimo ser´ıa aaabbbb, etc. En esta
secci´on, nos interesa sobre todo el caso de las sucesiones num´ericas, definidas como
funciones con dominio N, el conjunto de los n´
umeros naturales1 .
Una sucesi´
on de n´
umeros reales es una funci´on
f : N −→ Rn

→

an

definida por f (n) = an . As´ı, representamos la sucesi´on
por {an }n∈N o simplemente por {an }. El n´
umero an es
el n-´esimo t´ermino de la sucesi´on.
Ejemplo 1. Consideremos la sucesi´
on 1, 4, 9, 16, . . . , ´esta nos induce a pensar en
una sucesi´
on num´erica en donde el n-´esimo elemento es n2 y los puntos significan que
la sucesi´
on contin´
ua; as´ı, el sexto t´ermino de estasucesi´
on es 36, el d´ecimo t´ermino
es 100, etc. Esta sucesi´on es
f : N −→ R
n

→

f (n) = n2

o simplemente se puede escribir como an = n2 , con lo cual obtenemos una f´
ormula
expl´ıcita para su comportamiento.
1

El conjunto N es {0, 1, 2, . . . }. Si la sucesi´on no est´a definida en n = 0, empezamos en n = 1.

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Cap´ıtulo 1. Sucesiones

En otras ocasiones las sucesiones estan definidas deforma recursiva, esto es, an
depende de los t´erminos anteriores, en otras palabras, se dice que una sucesi´on est´a
definida por recurrencia si el n-´esimo t´ermino est´a definido en funci´on de t´erminos
anteriores.
Ejemplo 2. La sucesi´
on 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . , define, recursivamente, al t´ermino
n-´esimo como la suma de los dos t´erminos anteriores, y se cumple que Fn = Fn−1 +
Fn−2, con condiciones iniciales F1 = 1 y F2 = 1. Esta sucesi´
on se conoce como la
2
sucesi´
on de Fibonacci y es claramente recursiva, pues el n-´esimo t´ermino depende
de los dos t´erminos anteriores.
Para calcular, por ejemplo, el d´ecimo t´ermino de la sucesi´on de Fibonacci F10 , debemos calcular los t´erminos F9 y F8 y, para ellos, debemos calcular los anteriores, hasta
llegar a F1 que esconocido, lo cual lleva alg´
un trabajo. Lo ideal ser´ıa encontrar una
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f´ormula expl´ıcita que nos permita, de una manera m´as r´apida, determinar cualquier
t´ermino de la sucesi´on.
Ejemplo 3. La sucesi´
on definida por el factorial4 de n, denotada por an = n!, es:
a0 = 1, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 6, a4 = 24, y as´ı sucesivamente.
En sucesiones por recurrencia no podemos calcular el n-´esimo t´erminosin haber
calculado los t´erminos anteriores, sin embargo en algunos casos se puede obtener la
f´ormula expl´ıcita, no recurrente, para la misma sucesi´on.
Ejemplo 4. La sucesi´
on dada por recurrencia por an = 12 · an−1 con a0 = 1, es la
1
1
sucesi´
on a1 = 2 · a1−1 = 12 · a0 = 12 , a2 = 21 · a2−1 = 12 · a1 = 14 , a3 = 18 , a4 = 16
, ...
1 n
Una f´ormula expl´ıcita para esta sucesi´
on es an = 2 .Las sucesiones recurrentes tienen gran aplicaci´on en la computaci´on. Sin embargo,
el inter´es de esta secci´on es el de presentar sucesiones num´ericas expl´ıcitas. Si el lector
est´a interesado en sucesiones recurrentes, puede consultar [2], [4].
2

Matem´atico Italiano (1180-1250 d.C.). La sucesi´on resuelve el problema de los conejos: ¿Cu´antas
parejas de conejos obtendremos al final de un...