Numeros Reales Valor Absoluto

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO)
DE LOS NÚMEROS REALES

Ejemplo:

6 INECUACIONES

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VA11) |x − y| ≥ |x| − |y|.
VA12) |x − y| ≥ | |x| − |y| | .
Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definici´on. Otras
se demostrar´an en clases. Por ahora, s´olo queremos alertar sobre un error com´
un.
La soluci´on de la desigualdad (inecuaci´
on) x2 < 4 no es x < 2. De ser as´ı,x = −3
verificar´ıa la desigualdad, en circunstancia que (−3)2 = 9 ≥ 4.
La respuesta correcta es −2 < x < 2 y esta se deduce f´acilmente de la desigualdad original,
tomando ra´ıces cuadradas. En efecto, es obvio que x = 0 es una soluci´on y si x = 0 entonces
2
x2 > 0. Luego, en la desigualdad x
√ < 4 ambos lados son positivos y por tanto podemos
tomar ra´ıces cuadradas obteniendo x2 < 2.
√
√
Pero(y esta es la raz´on del error mencionado), x2 = x sino que x2 = |x|.
Luego obtenemos |x| < 2, la cual, por (VA4) es equivalente con −2 < x < 2.

6

Inecuaciones

Con frecuencia nos enfrentamos al problema de encontrar los valores de una variable (digamos
x ) que verifican una determinada desigualdad. Tal problema se conoce como inecuacio´
n y
resolver una tal inecuaci´
on es simplemente, aplicar aambas lados de la desigualdad una serie
de acciones v´alidas de modo de “despejar la inc´
ognita”, de la misma manera que una ecuaci´on
se resuelve aplicando a la igualdad dada una secuencia apropiada de operaciones.
Teniendo ya todas las reglas sobre desigualdades disponibles, no hay teor´ıa nueva que
introducir al respecto y procederemos, por la v´ıa del ejemplo, a discutir algunos tipos deinecuaciones de uso frecuente.
Inecuaciones Cuadr´
aticas : Son las del tipo q(x) < 0; q(x) ≤ 0; q(x) > 0 o q(x) ≥ 0
donde
q(x) = ax2 + bx + c; a = 0,
es una funci´
on cuadr´
atica.
Del colegio sabemos que el gr´afico de una tal funci´
on es una par´
abola, la cual se abre hacia
arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0 . Veamos algunos casos:
Si b2 − 4ac > 0 entonces la par´abola
tiene dos ra´ıces, x1 yx2 y su gr´afico es
de la forma mostrada al lado.
De all´ı es evidente que q(x) < 0 si y solamente si x1 < x < x2 . Esto es, entre
las ra´ıces) y q(x) > 0 cuando x < x1 o
x > x2 .

a

b

6 INECUACIONES

16

Si b2 − 4ac = 0 entonces la par´abola
tiene una u
´nica ra´ız, x1 , y su gr´afico es
de la forma mostrada al lado.
De all´ı se ve que q(x) > 0 para todo x
distinto de x2 o que q(x) ≥ 0 paratodo
x en R .

x1

Si b2 − 4ac < 0 entonces la par´abola no
tiene ra´ıces reales y su gr´afico yace entero
en el semiplano superior.
En este caso, para todo x en R se verifica
que q(x) > 0.

Los casos en que a < 0 son an´alogos, s´olo que ahora las par´
abolas se abren hacia abajo.
Tambi´en es v´alido recordar que si q(x) es cuadr´atica con a < 0 entonces −q(x) respresenta
una par´
abola abierta haciaarriba y por ende, multiplicando la inecuaci´
on original por −1
convertirla en alguna de las vistas ariba.

Ejemplo: Resolver la inecuaci´on |x + 1| > 1 − 2x .
Soluci´
on: Notamos primero que si el lado derecho es negativo la desigualdad se cumple
inmediatamente, ya que el lado izquierdo es siempre mayor o igual a cero (por ser un m´
odulo).
As´ı pues, tenemos un primer conjunto de soluciones:
1S1 = { x : 1 − 2x < 0} = { x : x > } =
2
Si ahora x ≤

1
2

1
,∞ .
2

la desigualdad anterior toma la forma
(x + 1)2 > 1 − 2x

donde ambas cantidades son positivas. Podemos, entonces, elevar la desigualdad al cuadrado
obteniendo

1 − 2x < |x + 1| ⇔ 1 − 2x <

(x + 1)2

⇔ (1 − 2x)2 < (x + 1)2
⇔ 4x2 − 4x + 1 < x2 + 2x + 1
⇔ x2 − 2x < 0.

6 INECUACIONES

17

Como el lado izquierdo es una funci´
oncuadr´
atica con a > 0 y ra´ıces 0 y 2, tenemos que la
u
´ltima inecuaci´on tiene soluci´on 0 < x < 2.
1
2

Dado que todo lo anterior se hizo bajo la restricci´
on x ≤
soluciones son
S2 = { x : x ≤

tenemos que el resto de las

1
1
1
& 0 < x < 2} = { x : 0 < x ≤ } = (0, ].
2
2
2

La soluci´on final la forman los n´
umeros que pertenecen a cualquiera de ambos conjuntos.
Esto es,
S1 ∪ S2 = {x : x > 0}...