Prob Cvv Semana03 1

Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Cálculo en Varias Variables 08- 1

1.

Guía
Ingeniería Matemática Semana 3
Universidad de Chile

RESUMEN

Ê

Diferenciabilidad y derivadas. Sean Ω es un abierto en N y x0 ∈ Ω.
Una función f : Ω ⊂ N → m es diferenciable en x0 si existe una matriz
A de tamaño m × N tal que

Ê

l´ım

h→0

Ê

f (x0 + h) − f (x0 ) −Ah
= 0.
h

En caso de existir, esta matriz A es única. Se denomina derivada o matriz Jacobiana de f en x0 y se denota por A = f ′ (x0 ). La función T (x) =
f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) es la aproximación afín de f en torno a x0 .
• Una función f definida mediante f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x)) es diferenciable en x0 si, y sólo si, para cada i = 1, . . . , m, la función fi : Ω →
lo es.Además
 ′

f1 (x0 )
f2′ (x0 )·


′

f (x0 ) = 
 · .
 · 
′
fm
(x0 )

Ê

Ê

• Si f, g : Ω → m son diferenciables en x0 y α ∈
αf + g : Ω → m es diferenciable en x0 y

Ê

Ê entonces la función

(αf + g)′ (x0 ) = αf ′ (x0 ) + g ′ (x0 ).
Además, si m = 1, la función f · g : Ω →

Ê es diferenciable en x0 con

(f · g)′ (x0 ) = g(x0 )f ′ (x0 ) + f (x0 )g ′ (x0 ).
Derivadas parciales ydireccionales. Sean Ω ⊂
m
, x0 ∈ Ω. En caso de existir, el límite

Ê

f ′ (x0 ; e) :=

d
f (x0 + te)
dt

t=0

ÊN un abierto, f : Ω →

1
= l´ım [f (x0 + te) − f (x0 )]
t→0 t

se denomina derivada direccional en x0 , en la dirección e.
• La diferenciabilidad de f en x0 implica la existencia de derivadas direccionales en x0 en toda dirección e. Más aun f ′ (x0 ; e) = f ′ (x0 )e.
La j-ésima derivada parcial de fse define, en caso de existir, como la
derivada direccional en la dirección del j-ésimo vector de la base canónica
ej :
1
∂f
(x0 ) := fxj (x0 ) := l´ım [f (x0 + tej ) − f (x0 )].
t→0 t
∂xj
∂f
(x), con x ∈ Ω y j = 1, . . . , N existen y
• Si todas las derivadas parciales ∂x
j
definen funciones continuas en el punto x0 , entonces f es diferenciable en x0 .

1

Ingeniería Matemática

Universidad deChile
Una función f es continuamente diferenciable o de clase C 1 en Ω si todas
sus derivadas parciales existen y definen funciones continuas en todo Ω.
Si f = (f1 , . . . fm ) es diferenciable en x0 , la matriz f ′ (x0 ) puede calcularse
como
∂fi
(x0 ) ,
i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , N ,
[f ′ (x0 )]ij =
∂xj
o
 ∂f

∂f1
∂f1
1
· · · ∂x
(x
)
0
∂x1 (x0 )
∂x2 (x0 )
N
 ∂f2

∂f2
∂f2
(x0 ) · · ·∂x
(x0 ) 
 ∂x1 (x0 ) ∂x
2
N




·
·
·
f ′ (x0 ) = 
.


·
·
·


·
·
·


∂fm
∂fm
∂fm
(x
)
(x
)
·
·
·
(x
)
0
0
0
∂x1
∂x2
∂xN
Además

 ∂f1




∂f

(x0 ) = 

∂xj



2.



∂xj (x0 )

∂f2
∂xj (x0 ) 



·
.

·


·
∂fm
(x
)
0
∂xj

EJERCICIOS PROPUESTOS

Diferenciabilidad
P1.- Sea A ∈ Mmn . Se define h :
diferenciabilidad de h.
P2.-

Ê

Ên → Ê como h(x) = xt Ax. Estudie la

Êa) Sea Φ : + ×[0, 2π] → 2 definida por: Φ(r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ)).
Calcule la matriz jacobiana de Φ en un punto (x0 , y0 ) en el interior de dom(Φ).

Ê Ê Ê

b) Sea Ψ : + × → 2 \{0} definida por Ψ(x, y) = ( x2 + y 2 , arctan(y/x)).
Calcule la matriz jacobiana de Ψ en un punto (x0 , y0 ) ∈ dom(Ψ)
c) Sea T :

Ê2\{0} → Ê2\{0} definida por T (x, y) =

v
u
u2 +v 2 , u2 +v 2
(x0 , y0 ) ∈ 2 \{0}.

ÊCalcule la matriz jacobiana de T en un punto
¿Se puede extender esta transformación de manera continua y
diferenciable al origen? Justifique su respuesta.

Ê
Ê

P2.- Sea S = {x ∈ 2 | x = 1}
Sea g : S →
continua y tq. g(1, 0) = g(0, 1) y ∀x ∈ S g(−x) =
−g(x). Se define:
f (x) =

x g(
0
2

x
x

) x=0
x=0

.

Ingeniería Matemática

Universidad de Chile
Si a ∈

Ê2, demuestre que si h(t) = f (at),

t∈

Ê, entonces h es

diferenciable.

Ên n un abierto y f : Ω → Ê. Demostrar que fnes diferenciable
Ê si y solo si, existe una función g : Ω → Ê continua en a,

P3.- Sea Ω ⊂
en a ∈
tal que:

f (x) − f (a) = g(x), x − a

Hint: Recuerde que f : Ω →

Ê es diferenciable en a ∈ Ên, si:

f (a + h) = f (a) + ∇f (a), h + e(h), donde l´ım

h→0

e(h)
=0
h

Además use el cambio de variable x = a+h, y note...