Problemas De Stokes

APLICACIONES DEL TEOREMA DE STOKES.
PROBLEMAS RESUELTOS
E. Bendito, A. Carmona y A. M. Encinas
5 de diciembre de 2007

Capítulo 1

Problemas de Integración
45.- Sean γ : [a, b] −→ IR3 una curva regular y f : IR3 −→ IR diferenciable. Demostrar que
df = f (γ (b)) − f (γ (a)).
γ

Concluir que

γ

df es nula sobre cualquier curva cerrada.

Solución:
En primer lugar observemos quedf =
γ

γ

∂f
∂f
∂f
dx1 +
dx2 +
dx3 .
∂x1
∂x2
∂x3

Por otro lado, de la relación entre el elemento de longitud y los elementos de volumen
coordenados tenemos,
x
dxi = xi dt = i ||γ ||dt = Ti dl,
||γ ||
donde dl es el elemento de longitud y Ti son las componentes del vector tangente a la curva.
Por tanto, substituyendo en la integral, obtenemos
df =
γ

γ
b

=
a

∂f∂f
∂f
T1 dl +
T2 dl +
T3 dl =
∂x1
∂x2
∂x3

γ (t)
f (γ (t)),
||γ (t)||dt =
||γ (t)||

b
a

f , T dl =
γ

b

(f ◦ γ ) (t)dt = f (γ (t)) = f (γ (b)) − f (γ (a)).

a

46.- Sea X el campo definido en IR3 − {(x, y, z ) ∈ IR3 : x2 + y 2 = 0} por
X=

−y
∂
x
∂
+
.
x2 + y 2 ∂x x2 + y 2 ∂y
1

2

Problemas Resueltos

Demostrar que
(i) rot(X ) = 0.
(ii) C (X, γ) = 0, donde γ es una circunferencia paralela al plano xy y con centro en el eje z .
(iii) No puede existir una función f tal que X = f .

Solución:
(i) Calculamos el rotacional,
i
j
rot(X ) =

∂
∂x
−y
x2 + y 2

k

∂
∂y
x
x2 + y 2

∂
∂z
0

x2 + y 2 − 2x2
x2 + y 2 − 2y 2
+
= (0, 0, 0).
2 + y 2 )2
(x
(x2 + y 2 )2
(ii) Una parametrización de γ en coordenadascilíndricas es,
=

0, 0,

γ (θ) = (R cos θ, R sen θ, z0 ), donde θ ∈ [0, 2π ].
Luego, γ (θ) = (−R sen θ, R cos θ, 0) y el producto escalar restringido a la curva es
X, γ (θ) = 1.
π

Por tanto, C (X, γ ) =

2π

X, γ (θ) dθ =
0

dθ = 2π = 0.
0

(iii) Supongamos que existe una función f tal que X = f . Entonces la circulación a través
de cualquier curva cerrada será nula. En particular, C(X, γ ) = 0, donde γ es la curva
que hemos considerado en el apartado anterior, lo que es una contradicción ya que hemos
demostrado que la circulación es no nula. Por tanto, el campo X no puede ser un campo
gradiente. Lo que ocurre en este caso es que el campo X es un campo diferenciable en
IR3 − {(x, y, z ) ∈ IR3 : x2 + y 2 = 0} que no es un abierto con forma de estrella.

47.- Consideramosel campo de IR2
X = (x2 + 7y )

∂
∂
+ (−x + y sen y 2 ) .
∂x
∂y

Calcular la circulación de X sobre la frontera del triángulo de vértices (0, 2), (0, 0) y (1, 0).
Solución:
Primer método. La circulación a lo largo de la frontera del triángulo es la suma de las circulaciones en cada uno de los lados,
C (X, ∂T ) =

X, T1 dl +
α1

X, T2 dl +
α2

X, T3 dl.
α3

Teoremasintegrales

3

Figura 1.1: Representación de T

Parametrizamos cada uno de los lados del triángulo y calculamos el vector tangente.
y = 0; α1 (t) = (t, 0), t ∈ [0, 1]; α1 (t) = (1, 0),
y = 2(1 − x); α2 (t) = (−t, 2(1 + t)), t ∈ [−1, 0]; α2 (t) = (−1, 2),
x = 0; α3 (t) = (0, −t), t ∈ [−2, 0]; α1 (t) = (0, −1).
1

C (X, ∂T ) =

0

X, α1 dt +
−1

0
1

0

X, α2 dt +

X, α3 dt =
−20

0

t2 dt +
0

1
t3 
+
3 0

−t2 − 14(1 + t) + 2t + 4(1 + t) sen(2(1 + t))2 dt +
−1

t sen t2 dt =
−2

−t3
cos(2(1 + t))2
− 14t − 7t2 + t2 −
3
2

0

2 0

 − cos t  = −8.

2 −2
−1

Segundo método.
Calculamos la circulación aplicando el Teorema de Green.
(x2 + 7y ) dx + (−x + y sen y 2 ) dy =

C (X, ∂T ) =
∂T

−8 dxdy = −8.
T

4Problemas Resueltos

48.- Sea X el campo de fuerzas definido en IR2 por
X = (2x + y cos(xy ))

∂
∂
+ x cos(xy ) .
∂x
∂y

Calcular el trabajo realizado por X sobre cualquier curva cerrada contenida en IR2 .
Solución:
Si el campo se puede expresar como un campo gradiente, el trabajo realizado por el campo
sobre cualquier curva cerrada será nulo. Por tanto, supongamos que existe f : IR2 −→ IR...