proceso poisson

Proceso de Poisson

Proceso Estocástico
Suponga que se desea modelar la llegada de
clientes a un restauran. Si las costumbres de
los clientes son distintas en diferentes
horarios; por ejemplo, llegan más clientes al
mediodía que en la noche. Entonces, en
cada instante de tiempo, la probabilidad de
llegada de un cierto número de clientes esta
descrita por una distribución deprobabilidad
que es función del tiempo.

Proceso Estocástico
De este manera, el número de clientes esta
descrito por una variable aleatoria Nt que
depende del tiempo. Se tiene

P{N t ≤ x} = F ( x, t )
Así, para un conjunto de valores de t, se
tiene una familia de variables aleatorias que
dependen del parámetro t, lo que define un
proceso estocástico. El proceso de Poisson
da una buenadescripción de este tipo de
fenómenos.

Proceso de Poisson


Tiene un rol muy importante, equivalente al de
la distribución normal dentro de las
distribuciones estadísticas.



Este proceso da una muy buena descripción
de muchos procesos de la vida real.



Esto se debe a que el proceso de Poisson es
el proceso más aleatorio. Entre más complejo
sea el proceso, será modelado de maneramás cercana por el proceso de Poisson.

Proceso de Poisson
Características
◦ El proceso de Poisson es Estacionario
◦ Independiente en todos los instantes de tiempo
◦ Simple

Las
dos
últimas
características
son
fundamentales.
La primera característica no es indispensable.
Podría existir un proceso de Poisson que
tenga intensidad dependiente en el tiempo.

Proceso de Poisson
Elproceso de Poisson puede representarse:
◦ Por número: El número de eventos dentro de un
intervalo de longitud fija tiene una distribución de
Poisson.
◦ Por Intervalo: La distancia en tiempo Ti entre
eventos
consecutivos
es
exponencialmente
distribuida.

Proceso de Poisson
En general, considere una serie de eventos
independientes E que ocurren en el tiempo.
El número n de sucesosque se producen en
un intervalo de tiempo t es una variable
aleatoria que llamaremos N(t); la probabilidad
de que N(t)=n, será llamada pn(t).

Proceso de Poisson
Haremos las hipótesis siguientes:
1. pn(t) no depende más que de t y no
depende del instante inicial t0 a partir del
cual se mide t; así la variable aleatoria N(t)
es estacionaria.
2. N(t) es independiente del número derealizaciones de E en todo intervalo anterior
a t.
3. La probabilidad de que el evento E se
produzca más de una vez en el intervalo dt
es infinitamente pequeño con respecto a dt.

Proceso de Poisson
Además, la probabilidad de que el evento E
se produzca una vez en el intervalo dt es
proporcional a dt, siendo su valor igual a λdt.
λ corresponde al número medio de eventos
que ocurren por unidadde tiempo. La tercera
hipótesis corresponde a lo siguiente:
Si tomamos un intervalo de tiempo h,
entonces decimos que la probabilidad de que
ocurra exactamente un evento es igual a
λh + o(h), donde o(h) es cualquier función
f(h) tal que
f ( h)

límh→0

h

=0

Proceso de Poisson
Por ejemplo, f(h)=h2 es o(h), mientras que
f(h)=h no lo es.
Entonces, la probabilidad que ocurran doso
más eventos en un intervalo dado de longitud
h es igual a o(h). Es decir, tiende a cero
cuando h tiende a cero.
Se comprenderá que, según estas hipótesis,
todas las probabilidades son independientes
de lo que ha pasado antes del intervalo dt.

Proceso de Poisson
Basado en las tres hipótesis debemos
calcular cual es la probabilidad pn(t) de que n
eventos E se produzcan en elintervalo t.
Para ello tenemos que en cualquier intervalo
∆t se cumple que
p0(∆t) + p1(∆t) + … + pn-1(∆t) + pn(∆t) = 1
por
hipótesis,
cuando
∆t0
probabilidades pk0 , k=2,3,…

las

Proceso de Poisson
Entonces
p0(dt) + p1(dt) = 1
y
p1(dt)=λdt
luego
p0(dt) = 1 – p1(dt) = 1 – λdt
Ahora, debemos calcular la probabilidad
pn(t+dt) de que n eventos E se produzcan en
el intervalo t+dt....